2021 AMC 12A Spring Problema 8

Question

Una sucesión de números se define por

D_0 = 0,

D_1 = 0,

D_2 = 1,

y

D_n = D_{n-1} + D_{n-3}

para

n \ge 3.

¿Cuáles son las paridades (par o impar) de la terna de números

(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023}),

donde

E

denota par y

O

denota impar?

A sequence of numbers is defined by

D_0 = 0,

D_1 = 0,

D_2 = 1,

and

D_n = D_{n-1} + D_{n-3}

for

n \ge 3.

What are the parities (evenness or oddness) of the triple of numbers

(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023}),

where

E

denotes even and

O

denotes odd?

(O, E, O)

(E, E, O)

(E, O, E)

(O, O, E)

(O, O, O)

Respuesta: C

Conceptos:paridad recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Solo importan las paridades, así que calcula la sucesión con cada término como

E

u

O

usando

O+O=E

.

Only parities matter, so compute the sequence with each term as

E

or

O

using

O+O=E

Pista grande:

La sucesión de paridades se repite con período

7;

reduce

2021, 2022, 2023

módulo

7

.

The parity sequence repeats with period

7;

reduce

2021, 2022, 2023

modulo

7

Solución:

Trabajando módulo

2,

los términos

D_0, D_1, D_2, \ldots

tienen paridades

E,

E,

O,

O,

O,

E,

O,

E,

E,

O,

O,

O,

E,

O, \ldots

que se repiten con período

7

comenzando desde

D_0

(en efecto,

D_7, D_8, D_9

tienen las mismas paridades

E, E, O

que

D_0, D_1, D_2

).

Como

2021 \equiv 5,

2022 \equiv 6,

y

2023 \equiv 0 \pmod 7,

las paridades coinciden con las de

D_5, D_6, D_0,

es decir,

E, O, E.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Working modulo

2,

the terms

D_0, D_1, D_2, \ldots

have parities

E,

E,

O,

O,

O,

E,

O,

E,

E,

O,

O,

O,

E,

O, \ldots

which repeat with period

7

starting from

D_0

(indeed

D_7, D_8, D_9

have the same parities

E, E, O

as

D_0, D_1, D_2

).

Since

2021 \equiv 5,

2022 \equiv 6,

and

2023 \equiv 0 \pmod 7,

the parities match those of

D_5, D_6, D_0,

namely

E, O, E.

Thus, the correct answer is C.