2020 AMC 12B Problema 8

Question

¿Cuántos pares ordenados de enteros

(x, y)

satisfacen la ecuación

x^{2020} + y^2 = 2y?

How many ordered pairs of integers

(x, y)

satisfy the equation

x^{2020} + y^2 = 2y?

1

2

3

4

Infinitos

infinitely many

Respuesta: D

Conceptos:completar el cuadrado Ecuación diofántica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en

y:

x^{2020} + (y - 1)^2 = 1

.

Complete the square in

y:

x^{2020} + (y - 1)^2 = 1

Pista grande:

Como

x^{2020} \ge 0

y

(y - 1)^2 \ge 0,

solo

x \in \{-1, 0, 1\}

puede funcionar.

Since

x^{2020} \ge 0

and

(y - 1)^2 \ge 0,

only

x \in \{-1, 0, 1\}

can work

Solución:

Completar el cuadrado da

x^{2020} + (y - 1)^2 = 1.

Ambos términos son no negativos, así que

x^{2020} \le 1,

lo que obliga a

x \in \{-1, 0, 1\}.

Si

x = 0,

entonces

(y - 1)^2 = 1,

lo que da

y = 0

o

y = 2.

Si

x = \pm 1,

entonces

x^{2020} = 1,

así que

(y - 1)^2 = 0

y

y = 1.

Las soluciones son

(0, 0), (0, 2), (1, 1),

y

(-1, 1)

: cuatro en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Completing the square gives

x^{2020} + (y - 1)^2 = 1.

Both terms are nonnegative, so

x^{2020} \le 1,

forcing

x \in \{-1, 0, 1\}.

If

x = 0,

then

(y - 1)^2 = 1,

giving

y = 0

or

y = 2.

If

x = \pm 1,

then

x^{2020} = 1,

so

(y - 1)^2 = 0

and

y = 1.

The solutions are

(0, 0), (0, 2), (1, 1),

and

(-1, 1)

— four in all.

Thus, the correct answer is D.