2020 AMC 12A Problema 7

Question

Siete cubos, cuyos volúmenes son

1,

8,

27,

64,

125,

216,

y

343

unidades cúbicas, se apilan verticalmente formando una torre en la que los volúmenes de los cubos decrecen de abajo hacia arriba. Salvo el cubo de abajo, la cara inferior de cada cubo descansa completamente sobre la cara superior del cubo que tiene debajo. ¿Cuál es el área superficial total de la torre (incluyendo la base) en unidades cuadradas?

Seven cubes, whose volumes are

1,

8,

27,

64,

125,

216,

and

343

cubic units, are stacked vertically to form a tower in which the volumes of the cubes decrease from bottom to top. Except for the bottom cube, the bottom face of each cube lies completely on top of the cube below it. What is the total surface area of the tower (including the bottom) in square units?

644

658

664

720

749

Respuesta: B

Conceptos:área de superficie suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Los cubos tienen longitudes de lado

1, 2, \ldots, 7;

trata por separado las cuatro caras verticales y las caras horizontales

The cubes have side lengths

1, 2, \ldots, 7;

handle the four vertical faces and the horizontal faces separately

Pista grande:

Mirando directamente hacia abajo, toda el área horizontal orientada hacia arriba es igual a la base de

7 \times 7;

lo mismo ocurre mirando hacia arriba

Looking straight down, all upward-facing horizontal area equals the base’s

7 \times 7;

the same holds looking up

Solución:

Las longitudes de lado son

1, 2, \ldots, 7.

Las cuatro caras laterales del cubo

k

aportan

4k^2,

así que las caras verticales suman

4(1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2)

= 4 \cdot 140 = 560.

Visto directamente desde arriba, cada parche horizontal orientado hacia arriba se proyecta sobre la base de

7 \times 7

sin solaparse, dando

49.

Visto desde abajo, sucede lo mismo, dando otros

49.

El área superficial total es

560 + 49 + 49 = 658.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The side lengths are

1, 2, \ldots, 7.

The four side faces of cube

k

contribute

4k^2,

so the vertical faces total

4(1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2)

= 4 \cdot 140 = 560.

Viewed from directly above, every upward-facing horizontal patch projects onto the

7 \times 7

base without overlap, giving

49.

Viewed from below, the same is true, giving another

49.

The total surface area is

560 + 49 + 49 = 658.

Thus, B is the correct answer.