2019 AMC 12B Problema 8

Question

Sea

f(x)=x^2(1-x)^2.

¿Cuál es el valor de la suma

\begin{gathered} f\!\left(\tfrac{1}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{2}{2019}\right) \\ {}+f\!\left(\tfrac{3}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{4}{2019}\right) \\ {}+\cdots+f\!\left(\tfrac{2017}{2019}\right) \\ {}-f\!\left(\tfrac{2018}{2019}\right)? \end{gathered}

Let

f(x)=x^2(1-x)^2.

What is the value of the sum

\begin{gathered} f\!\left(\tfrac{1}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{2}{2019}\right) \\ {}+f\!\left(\tfrac{3}{2019}\right)-f\!\left(\tfrac{4}{2019}\right) \\ {}+\cdots+f\!\left(\tfrac{2017}{2019}\right) \\ {}-f\!\left(\tfrac{2018}{2019}\right)? \end{gathered}

0

\dfrac{1}{2019^4}

\dfrac{2018^2}{2019^4}

\dfrac{2020^2}{2019^4}

1

Observa que

f(x)=f(1-x)

f(x)=f(1-x)

Empareja

f\!\left(\tfrac{k}{2019}\right)

con

f\!\left(\tfrac{2019-k}{2019}\right),

y compara sus signos

Pair

f\!\left(\tfrac{k}{2019}\right)

with

f\!\left(\tfrac{2019-k}{2019}\right),

and compare their signs

Como

f(1-x)=(1-x)^2x^2=f(x),

tenemos

f\!\left(\tfrac{k}{2019}\right)=f\!\left(\tfrac{2019-k}{2019}\right).

En la suma, el término con índice

k

tiene signo

(-1)^{k+1},

mientras que el término con índice

2019-k

es igual en valor pero tiene signo

(-1)^{2019-k+1}=(-1)^{k},

el opuesto.

Cada término se cancela con su pareja, así que el total es

0.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since

f(1-x)=(1-x)^2x^2=f(x),

we have

f\!\left(\tfrac{k}{2019}\right)=f\!\left(\tfrac{2019-k}{2019}\right).

In the sum, the term with index

k

has sign

(-1)^{k+1},

while the term with index

2019-k

equals it in value but has sign

(-1)^{2019-k+1}=(-1)^{k},

the opposite.

Every term cancels with its partner, so the total is

0.

Thus, A is the correct answer.

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