2019 AMC 12B Problema 15

Question

Como se muestra en la figura, el segmento

\overline{AD}

es trisecado por los puntos

B

y

C

de modo que

AB=BC=CD=2.

Tres semicírculos de radio

1,

AEB,

BFC,

y

CGD,

tienen sus diámetros sobre

\overline{AD},

y son tangentes a la recta

EG

en

E,

F,

y

G,

respectivamente. Un círculo de radio

2

tiene su centro en

F.

El área de la región dentro del círculo pero fuera de los tres semicírculos, sombreada en la figura, se puede expresar en la forma

\dfrac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,

donde

a,

b,

c,

y

d

son enteros positivos y

a

y

b

son primos entre sí. ¿Cuánto vale

a+b+c+d

?

As shown in the figure, line segment

\overline{AD}

is trisected by points

B

and

C

so that

AB=BC=CD=2.

Three semicircles of radius

1,

AEB,

BFC,

and

CGD,

have their diameters on

\overline{AD},

and are tangent to line

EG

at

E,

F,

and

G,

respectively. A circle of radius

2

has its center on

F.

The area of the region inside the circle but outside the three semicircles, shaded in the figure, can be expressed in the form

\dfrac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,

where

a,

b,

c,

and

d

are positive integers and

a

and

b

are relatively prime. What is

a+b+c+d?

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Respuesta: E

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas geometría analítica

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Coloca

F=(3,1);

el círculo de radio

2

entonces pasa por

E

y

G,

y el semicírculo del medio queda completamente dentro de él

Place

F=(3,1);

the circle of radius

2

then passes through

E

and

G,

and the middle semicircle lies entirely inside it

Pista grande:

Resta al área del círculo las partes de los tres semicírculos que caen dentro de él

Subtract from the circle’s area the parts of the three semicircles that fall inside it

Solución:

Pon

A=(0,0),

\ B=(2,0),

\ C=(4,0),

\ D=(6,0),

así que los semicírculos están centrados en

(1,0),(3,0),(5,0)

y sus cúspides son

E=(1,1),

\ F=(3,1),

\ G=(5,1).

El círculo tiene centro

F=(3,1)

y radio

2,

así que pasa por

E

y

G,

y tiene área

4\pi.

El semicírculo del medio

BFC

queda completamente dentro del círculo, quitando un área

\dfrac{\pi}{2}.

Para el semicírculo de la izquierda, el solapamiento empieza en

E

e incluye su cuarto de círculo derecho, salvo la región que queda por debajo del círculo grande. El círculo grande corta al eje

x

en

x=3-\sqrt3.

El área excluida es

\begin{aligned} I &=\int_1^{3-\sqrt3}1\,dx\\ &\quad-\int_1^{3-\sqrt3} \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx\\ &=2-\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\pi}{3}. \end{aligned}

Por lo tanto el solapamiento tiene área

\begin{aligned} R&=\dfrac{\pi}{4}-I\\ &=\dfrac{7\pi}{12}-2+\dfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}

Por simetría, el semicírculo de la derecha aporta el mismo solapamiento.

El área sombreada es

4\pi-\dfrac{\pi}{2}-2R=\dfrac{7}{3}\pi-\sqrt3+4.

Por lo tanto

a=7,\ b=3,\ c=3,\ d=4,

así que

a+b+c+d=17.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Put

A=(0,0),

\ B=(2,0),

\ C=(4,0),

\ D=(6,0),

so the semicircles are centered at

(1,0),(3,0),(5,0)

and their tops are

E=(1,1),

\ F=(3,1),

\ G=(5,1).

The circle has center

F=(3,1)

and radius

2,

so it passes through

E

and

G,

and has area

4\pi.

The middle semicircle

BFC

lies entirely inside the circle, removing area

\dfrac{\pi}{2}.

For the left semicircle, the overlap starts at

E

and includes its right-hand quarter-circle, except for the region below the large circle. The large circle meets the

x

-axis at

x=3-\sqrt3.

The excluded area is

\begin{aligned} I &=\int_1^{3-\sqrt3}1\,dx\\ &\quad-\int_1^{3-\sqrt3} \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx\\ &=2-\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\pi}{3}. \end{aligned}

Therefore the overlap has area

\begin{aligned} R&=\dfrac{\pi}{4}-I\\ &=\dfrac{7\pi}{12}-2+\dfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}

By symmetry, the right semicircle contributes the same overlap.

The shaded area is

4\pi-\dfrac{\pi}{2}-2R=\dfrac{7}{3}\pi-\sqrt3+4.

Hence

a=7,\ b=3,\ c=3,\ d=4,

so

a+b+c+d=17.

Thus, E is the correct answer.