2019 AMC 12A Problema 8

Question

Para un conjunto de cuatro rectas distintas en un plano, hay exactamente

N

puntos distintos que están sobre dos o más de las rectas. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de

N

?

For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly

N

distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of

N?

14

16

18

19

21

Respuesta: D

Conceptos:conteo de intersecciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

El máximo es

\binom{4}{2} = 6

cuando las rectas están en posición general.

The maximum is

\binom{4}{2} = 6

when the lines are in general position

Pista grande:

Enumera las configuraciones usando clases de paralelismo y concurrencias; verifica cuáles recuentos desde

0

hasta

6

son alcanzables

Enumerate configurations using parallel classes and concurrences; check which counts from

0

to

6

are achievable

Solución:

Los valores

0

y

1

ocurren cuando las cuatro rectas son paralelas o concurrentes, respectivamente. Tres rectas paralelas cortadas por una cuarta dan

3

puntos. Tres rectas concurrentes junto con una cuarta que no pasa por su punto común dan

4.

Un par paralelo sin tres rectas concurrentes da

5,

y cuatro rectas en posición general dan

6.

El valor

2

es imposible. Una vez que dos rectas se cortan en

P,

una tercera que no pasa por

P

crea al menos una intersección nueva; una cuarta recta distinta debe crear entonces otro punto nuevo. Si todas las rectas restantes pasan por

P,

hay solo un punto de intersección. Así, los valores posibles son

0,1,3,4,5,6,

cuya suma es

19.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The values

0

and

1

occur when all four lines are parallel or all four are concurrent. Three parallel lines crossed by a fourth give

3

points. Three concurrent lines together with a fourth line not through their common point give

4.

One parallel pair with no three concurrent gives

5,

and four lines in general position give

6.

The value

2

is impossible. Once two lines meet at

P,

a third line not through

P

creates at least one new intersection; a fourth distinct line must then create another new point. If every remaining line passes through

P,

there is only one intersection point instead. Thus the achievable values are

0,1,3,4,5,6,

whose sum is

19.

Thus, the correct answer is D.