2018 AMC 12A Problema 16

Question

¿Cuál de las siguientes describe el conjunto de valores de

a

para los que las curvas

x^2 + y^2 = a^2

y

y = x^2 - a

en el plano real

xy

se cortan en exactamente

3

puntos?

Which of the following describes the set of values of

a

for which the curves

x^2 + y^2 = a^2

and

y = x^2 - a

in the real

xy

-plane intersect at exactly

3

points?

a = \tfrac14

\tfrac14 \lt a \lt \tfrac12

a \gt \tfrac14

a = \tfrac12

a \gt \tfrac12

Respuesta: E

Conceptos:círculo parábola cuadrática

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

A partir de

y = x^2 - a

sustituye

x^2 = y + a

en la ecuación de la circunferencia para obtener una cuadrática en

y

From

y = x^2 - a

substitute

x^2 = y + a

into the circle equation to get a quadratic in

y

Pista grande:

Una intersección es la tangencia en el vértice en

x = 0;

dos más requieren que

x^2 = 2a - 1

tenga soluciones reales no nulas

One intersection is the vertex tangency at

x = 0;

two more require

x^2 = 2a - 1

to have real nonzero solutions

Solución:

Sustituir

x^2 = y + a

en

x^2 + y^2 = a^2

da

y^2 + y + (a - a^2) = 0,

que se factoriza como

(y + 1 - a)(y + a) = 0,

así que

y = a - 1

o

y = -a.

Estos corresponden a

x^2 = 2a - 1

y

x^2 = 0.

La ecuación

x^2 = 0

siempre da el único punto

(0, -a),

el vértice de la parábola. La ecuación

x^2 = 2a - 1

da dos puntos más exactamente cuando

2a - 1 \gt 0,

es decir

a \gt \tfrac12.

Así que hay

3

puntos de intersección precisamente cuando

a \gt \tfrac12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting

x^2 = y + a

into

x^2 + y^2 = a^2

gives

y^2 + y + (a - a^2) = 0,

which factors as

(y + 1 - a)(y + a) = 0,

so

y = a - 1

or

y = -a.

These correspond to

x^2 = 2a - 1

and

x^2 = 0.

The equation

x^2 = 0

always gives the single point

(0, -a),

the vertex of the parabola. The equation

x^2 = 2a - 1

gives two more points exactly when

2a - 1 \gt 0,

i.e.

a \gt \tfrac12.

So there are

3

intersection points precisely when

a \gt \tfrac12.

Thus, the correct answer is E.