2017 AMC 12B Problema 15

Question

Sea

ABC

un triángulo equilátero. Prolonga el lado

\overline{AB}

más allá de

B

hasta un punto

B'

de modo que

BB' = 3 \cdot AB.

De manera similar, prolonga el lado

\overline{BC}

más allá de

C

hasta un punto

C'

de modo que

CC' = 3 \cdot BC,

y prolonga el lado

\overline{CA}

más allá de

A

hasta un punto

A'

de modo que

AA' = 3 \cdot CA.

¿Cuál es la razón del área de

\triangle A'B'C'

al área de

\triangle ABC

?

Let

ABC

be an equilateral triangle. Extend side

\overline{AB}

beyond

B

to a point

B'

so that

BB' = 3 \cdot AB.

Similarly, extend side

\overline{BC}

beyond

C

to a point

C'

so that

CC' = 3 \cdot BC,

and extend side

\overline{CA}

beyond

A

to a point

A'

so that

AA' = 3 \cdot CA.

What is the ratio of the area of

\triangle A'B'C'

to the area of

\triangle ABC?

9 : 1

16 : 1

25 : 1

36 : 1

37 : 1

Respuesta: E

Conceptos:razón de áreas descomposición de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sea

X

el área de

\triangle ABC.

Traza

CB',

AC',

BA'

para dividir

\triangle A'B'C'

en partes

Let

X

be the area of

\triangle ABC.

Draw

CB',

AC',

BA'

to split

\triangle A'B'C'

into pieces

Pista grande:

Un triángulo con

k

veces la base y la misma altura tiene

k

veces el área; expresa cada parte como múltiplo de

X

A triangle with

k

times the base and the same height has

k

times the area; find each piece as a multiple of

X

Solución:

Sea

X = [\triangle ABC],

y traza los segmentos

CB',

AC',

y

BA'.

El triángulo

BB'C

tiene base

BB' = 3 \cdot AB

y la misma altura que

\triangle ABC

desde

C

a la recta

AB,

por lo que su área es

3X;

de igual modo

\triangle CC'A

y

\triangle AA'B

tienen cada uno área

3X.

Luego,

\triangle AA'C'

tiene

3

veces la base y la misma altura que

\triangle ACC',

así que su área es

9X;

de manera similar

\triangle CC'B'

y

\triangle BB'A'

tienen cada uno área

9X.

Por lo tanto

\begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned}

así que la razón es

37 : 1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

X = [\triangle ABC],

and draw segments

CB',

AC',

and

BA'.

Triangle

BB'C

has base

BB' = 3 \cdot AB

and the same altitude as

\triangle ABC

from

C

to line

AB,

so its area is

3X;

likewise

\triangle CC'A

and

\triangle AA'B

each have area

3X.

Next,

\triangle AA'C'

has

3

times the base and the same height as

\triangle ACC',

so its area is

9X;

similarly

\triangle CC'B'

and

\triangle BB'A'

each have area

9X.

Thus

\begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned}

so the ratio is

37 : 1.

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12B Problema 15

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años