Question

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Prolonga el lado $\overline{AB}$ más allá de $B$ hasta un punto $B'$ de modo que $BB' = 3 \cdot AB.$ De manera similar, prolonga el lado $\overline{BC}$ más allá de $C$ hasta un punto $C'$ de modo que $CC' = 3 \cdot BC,$ y prolonga el lado $\overline{CA}$ más allá de $A$ hasta un punto $A'$ de modo que $AA' = 3 \cdot CA.$ ¿Cuál es la razón del área de $\triangle A'B'C'$ al área de $\triangle ABC$ ?

Let $ABC$ be an equilateral triangle. Extend side $\overline{AB}$ beyond $B$ to a point $B'$ so that $BB' = 3 \cdot AB.$ Similarly, extend side $\overline{BC}$ beyond $C$ to a point $C'$ so that $CC' = 3 \cdot BC,$ and extend side $\overline{CA}$ beyond $A$ to a point $A'$ so that $AA' = 3 \cdot CA.$ What is the ratio of the area of $\triangle A'B'C'$ to the area of $\triangle ABC?$

$9 : 1$

$16 : 1$

$25 : 1$

$36 : 1$

$37 : 1$

Respuesta: E

Conceptos:razón de áreas descomposición de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Sea $X = [\triangle ABC],$ y traza los segmentos $CB',$ $AC',$ y $BA'.$ El triángulo $BB'C$ tiene base $BB' = 3 \cdot AB$ y la misma altura que $\triangle ABC$ desde $C$ a la recta $AB,$ por lo que su área es $3X;$ de igual modo $\triangle CC'A$ y $\triangle AA'B$ tienen cada uno área $3X.$ Luego, $\triangle AA'C'$ tiene $3$ veces la base y la misma altura que $\triangle ACC',$ así que su área es $9X;$ de manera similar $\triangle CC'B'$ y $\triangle BB'A'$ tienen cada uno área $9X.$ Por lo tanto así que la razón es $37 : 1.$ $\begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $X = [\triangle ABC],$ and draw segments $CB',$ $AC',$ and $BA'.$ Triangle $BB'C$ has base $BB' = 3 \cdot AB$ and the same altitude as $\triangle ABC$ from $C$ to line $AB,$ so its area is $3X;$ likewise $\triangle CC'A$ and $\triangle AA'B$ each have area $3X.$ Next, $\triangle AA'C'$ has $3$ times the base and the same height as $\triangle ACC',$ so its area is $9X;$ similarly $\triangle CC'B'$ and $\triangle BB'A'$ each have area $9X.$ Thus $\begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned}$ so the ratio is $37 : 1.$

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12B Problema 15

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 15 en otros años