2017 AMC 12B Problema 11

Question

Llamamos monótono a un entero positivo si es un número de una cifra o si sus dígitos, leídos de izquierda a derecha, forman una sucesión estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Por ejemplo,

3,

23578,

y

987620

son monótonos, pero

88,

7434,

y

23557

no lo son. ¿Cuántos enteros positivos monótonos hay?

Call a positive integer monotonous if it is a one-digit number or its digits, when read from left to right, form either a strictly increasing or a strictly decreasing sequence. For example,

3,

23578,

and

987620

are monotonous, but

88,

7434,

and

23557

are not. How many monotonous positive integers are there?

1024

1524

1533

1536

2048

Respuesta: B

Conceptos:subconjuntos biyección inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Cada subconjunto no vacío de

\{1, 2, \ldots, 9\}

da exactamente un número estrictamente creciente

Each nonempty subset of

\{1, 2, \ldots, 9\}

gives exactly one strictly increasing number

Pista grande:

Los números decrecientes corresponden a subconjuntos de

\{0, 1, \ldots, 9\}

salvo

\varnothing

y

\{0\};

los dígitos individuales se cuentan dos veces

Decreasing numbers correspond to subsets of

\{0, 1, \ldots, 9\}

except

\varnothing

and

\{0\};

single digits are counted twice

Solución:

Los números monótonos estrictamente crecientes corresponden a subconjuntos no vacíos de

\{1, \ldots, 9\},

lo que da

2^9 - 1 = 511.

Los estrictamente decrecientes corresponden a subconjuntos de

\{0, 1, \ldots, 9\}

distintos de

\varnothing

y

\{0\}

(no se permite un

0

inicial), lo que da

2^{10} - 2 = 1022.

Los nueve números de una cifra se cuentan en ambos casos, así que el total es

511 + 1022 - 9 = 1524.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Strictly increasing monotonous numbers correspond to nonempty subsets of

\{1, \ldots, 9\},

giving

2^9 - 1 = 511.

Strictly decreasing ones correspond to subsets of

\{0, 1, \ldots, 9\}

other than

\varnothing

and

\{0\}

(a leading

0

is not allowed), giving

2^{10} - 2 = 1022.

The nine single-digit numbers are counted in both, so the total is

511 + 1022 - 9 = 1524.

Thus, the correct answer is B.