2017 AMC 12A Problema 19

Question

Un cuadrado de lado

x

está inscrito en un triángulo rectángulo con lados de longitud

3,

4,

y

5

de modo que un vértice del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo. Un cuadrado de lado

y

está inscrito en otro triángulo rectángulo con lados de longitud

3,

4,

y

5

de modo que un lado del cuadrado queda sobre la hipotenusa del triángulo. ¿Cuánto vale

\dfrac{x}{y}

?

A square with side length

x

is inscribed in a right triangle with sides of length

3,

4,

and

5

so that one vertex of the square coincides with the right-angle vertex of the triangle. A square with side length

y

is inscribed in another right triangle with sides of length

3,

4,

and

5

so that one side of the square lies on the hypotenuse of the triangle. What is

\dfrac{x}{y}?

\dfrac{12}{13}

\dfrac{35}{37}

1

\dfrac{37}{35}

\dfrac{13}{12}

Respuesta: D

Conceptos:semejanza triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Un cuadrado con su esquina en el ángulo recto tiene lado

x=\dfrac{3\cdot4}{3+4}

A square with its corner at the right angle has side

x=\dfrac{3\cdot4}{3+4}

Pista grande:

Un cuadrado con un lado sobre una base de longitud

b

y altura

h

hacia esa base tiene lado

\dfrac{bh}{b+h};

usa la hipotenusa como base

A square with a side on a base of length

b

and height

h

to that base has side

\dfrac{bh}{b+h};

use the hypotenuse as the base

Solución:

Para el primer cuadrado, los dos triángulos más pequeños que recorta son semejantes al triángulo completo, lo que da

\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{4-x}{x},

así que

x=\dfrac{12}{7}.

(De forma equivalente, un cuadrado en el ángulo recto tiene lado

\dfrac{3\cdot4}{3+4}.

)

Para el segundo cuadrado, toma la hipotenusa de longitud

5

como base; la altura hacia ella es

h=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}.

Un cuadrado con un lado sobre una base

b

y altura

h

tiene lado

\dfrac{bh}{b+h},

así que

y=\dfrac{5\cdot\tfrac{12}{5}}{5+\tfrac{12}{5}}=\dfrac{12}{\tfrac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.

Por lo tanto

\dfrac{x}{y}=\dfrac{12}{7}\cdot\dfrac{37}{60}=\dfrac{37}{35}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For the first square, the two smaller triangles it cuts off are similar to the whole triangle, giving

\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{4-x}{x},

so

x=\dfrac{12}{7}.

(Equivalently, a square in the right angle has side

\dfrac{3\cdot4}{3+4}.

)

For the second square, take the hypotenuse of length

5

as base; the altitude to it is

h=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}.

A square with a side on a base

b

and height

h

has side

\dfrac{bh}{b+h},

so

y=\dfrac{5\cdot\tfrac{12}{5}}{5+\tfrac{12}{5}}=\dfrac{12}{\tfrac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.

Therefore

\dfrac{x}{y}=\dfrac{12}{7}\cdot\dfrac{37}{60}=\dfrac{37}{35}.

Thus, the correct answer is D.