Question

¿Cuántos cuadrados cuyos lados son paralelos a los ejes y cuyos vértices tienen coordenadas enteras están contenidos por completo en la región limitada por la recta $y=\pi x,$ la recta $y=-0.1,$ y la recta $x=5.1$ ?

How many squares whose sides are parallel to the axes and whose vertices have coordinates that are integers lie entirely within the region bounded by the line $y=\pi x,$ the line $y=-0.1,$ and the line $x=5.1?$

$30$

$41$

$45$

$50$

$57$

Respuesta: D

Conceptos:conteo de figuras en diagramas punto reticular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Un cuadrado cuyo borde izquierdo es $x=k$ debe caber bajo el punto más bajo de $y=\pi x$ a lo largo de su anchura, que es $y=\pi k.$ Para lado $1,$ los posibles bordes izquierdos $k=1,2,3,4$ aportan $3+6+9+12=30$ cuadrados. Para lado $2,$ los bordes $k=1,2,3$ aportan $2+5+8=15,$ y para lado $3,$ los bordes $k=1,2$ aportan $1+4=5.$ Un cuadrado de lado al menos $4$ no cabe, así que el total es $30+15+5=50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A square whose left edge is $x=k$ must fit below the lowest point of $y=\pi x$ over its width, namely $y=\pi k.$ For side length $1,$ the possible left edges $k=1,2,3,4$ contribute $3+6+9+12=30$ squares. For side length $2,$ the left edges $k=1,2,3$ contribute $2+5+8=15,$ and for side length $3,$ the left edges $k=1,2$ contribute $1+4=5.$ A square of side at least $4$ cannot fit, so the total is $30+15+5=50.$

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12B Problema 11

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

El Problema 11 en otros años