2015 AMC 12B Problema 11

Question

La recta

12x + 5y = 60

forma un triángulo con los ejes coordenados. ¿Cuál es la suma de las longitudes de las alturas de este triángulo?

The line

12x + 5y = 60

forms a triangle with the coordinate axes. What is the sum of the lengths of the altitudes of this triangle?

20

\dfrac{360}{17}

\dfrac{107}{5}

\dfrac{43}{2}

\dfrac{281}{13}

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica triángulo rectángulo altura

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Las intersecciones son

(5, 0)

y

(0, 12),

así que los catetos son

5

y

12

.

The intercepts are

(5, 0)

and

(0, 12),

so the legs are

5

and

12

Pista grande:

Dos alturas son los catetos; la tercera es

\dfrac{2 \cdot \text{área}}{\text{hipotenusa}}

.

Two altitudes are the legs; the third is

\dfrac{2 \cdot \text{area}}{\text{hypotenuse}}

Solución:

La recta corta a los ejes en

(5, 0)

y

(0, 12),

así que el triángulo es rectángulo con catetos

5

y

12

e hipotenusa

13.

Su área es

30.

Dos alturas son los catetos

5

y

12;

la altura sobre la hipotenusa es

\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13}.

La suma es

17 + \dfrac{60}{13} = \dfrac{281}{13}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The line meets the axes at

(5, 0)

and

(0, 12),

so the triangle is right with legs

5

and

12

and hypotenuse

13.

Its area is

30.

Two altitudes are the legs

5

and

12;

the altitude to the hypotenuse is

\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13}.

The sum is

17 + \dfrac{60}{13} = \dfrac{281}{13}.

Thus, the correct answer is E.