2015 AMC 12A Problema 15

Question

¿Cuál es el número mínimo de dígitos a la derecha del punto decimal necesarios para expresar la fracción

\dfrac{123456789}{2^{26}\cdot 5^4}

como decimal?

What is the minimum number of digits to the right of the decimal point needed to express the fraction

\dfrac{123456789}{2^{26}\cdot 5^4}

as a decimal?

4

22

26

30

104

El numerador no comparte ningún factor de

2

o

5

con el denominador.

The numerator shares no factor of

2

or

5

with the denominator

Multiplica el numerador y el denominador para convertir el denominador en una potencia de

10

Multiply the top and bottom to turn the denominator into a power of

10

El numerador y el denominador no comparten factores comunes. Para escribir la fracción como decimal, reescríbela con una potencia de

10

en el denominador; la menor que funciona es

10^{26}:

\dfrac{123456789}{2^{26}\cdot 5^4} = \dfrac{123456789\cdot 5^{22}}{10^{26}}.

Como el numerador

123456789\cdot 5^{22}

no es divisible por

10,

el decimal tiene exactamente

26

cifras después del punto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The numerator and denominator share no common factors. To write the fraction as a decimal, rewrite it with a power of

10

in the denominator; the smallest that works is

10^{26}:

\dfrac{123456789}{2^{26}\cdot 5^4} = \dfrac{123456789\cdot 5^{22}}{10^{26}}.

Since the numerator

123456789\cdot 5^{22}

is not divisible by

10,

the decimal has exactly

26

places after the point.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 15 en otros años