2015 AMC 12A Problema 11

Question

En una hoja de papel, Isabella dibuja un círculo de radio

2,

un círculo de radio

3,

y todas las rectas posibles simultáneamente tangentes a ambos círculos. Isabella observa que ha dibujado exactamente

k \ge 0

rectas. ¿Cuántos valores diferentes de

k

son posibles?

On a sheet of paper, Isabella draws a circle of radius

2,

a circle of radius

3,

and all possible lines simultaneously tangent to both circles. Isabella notices that she has drawn exactly

k \ge 0

lines. How many different values of

k

are possible?

2

3

4

5

6

Respuesta: D

Conceptos:recta tangente círculo análisis por casos

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

El número de tangentes comunes depende de cómo estén posicionados los dos círculos

The number of common tangents depends on how the two circles are positioned

Pista grande:

Mueve los círculos desde uno dentro del otro hasta completamente separados y cuenta en cada etapa

Move the circles from one inside the other out to fully separated and count at each stage

Solución:

El número de rectas tangentes comunes depende de la posición relativa de los dos círculos:

Si el círculo menor está dentro del mayor, hay

0

tangentes. Si son tangentes internamente, hay

1.

Si los círculos se cortan en dos puntos, hay

2.

Si son tangentes externamente, hay

3.

Si están separados, hay

4.

Así

k

puede ser cualquiera de

0, 1, 2, 3, 4,

lo que da

5

valores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The number of common tangent lines depends on the relative position of the two circles:

If the smaller circle is inside the larger, there are

0

tangents. If it is internally tangent, there is

1.

If the circles intersect at two points, there are

2.

If they are externally tangent, there are

3.

If they are separated, there are

4.

Thus

k

can be any of

0, 1, 2, 3, 4,

which gives

5

possible values.

Thus, the correct answer is D.