2014 AMC 12B Problema 7

Question

¿Para cuántos enteros positivos

n

el valor

\dfrac{n}{30-n}

también es un entero positivo?

For how many positive integers

n

is

\dfrac{n}{30-n}

also a positive integer?

4

5

6

7

8

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad factor manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Reescribe

\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1

.

Rewrite

\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1

Pista grande:

Así que

30-n

debe ser un divisor positivo de

30,

y el cociente debe ser al menos

2

.

So

30-n

must be a positive divisor of

30,

and the quotient must be at least

2

Solución:

Escribe

\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.

Para que esto sea un entero positivo,

30-n

debe ser un divisor positivo de

30

con

\dfrac{30}{30-n} \ge 2,

es decir

30-n \le 15.

Los divisores de

30

que son a lo sumo

15

son

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15,

lo que da

7

valores de

n

(a saber

15, 20, 24, 25, 27, 28, 29

).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write

\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.

For this to be a positive integer,

30-n

must be a positive divisor of

30

with

\dfrac{30}{30-n} \ge 2,

i.e.

30-n \le 15.

The divisors of

30

that are at most

15

are

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15,

giving

7

values of

n

(namely

15, 20, 24, 25, 27, 28, 29

).

Thus, the correct answer is D.