2014 AMC 12B Problema 19

Question

Una esfera está inscrita en un cono circular recto truncado, como se muestra. El volumen del cono truncado es el doble que el de la esfera. ¿Cuál es la razón entre el radio de la base inferior del cono truncado y el radio de la base superior del cono truncado?

A sphere is inscribed in a truncated right circular cone as shown. The volume of the truncated cone is twice that of the sphere. What is the ratio of the radius of the bottom base of the truncated cone to the radius of the top base of the truncated cone?

\dfrac{3}{2}

\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

\sqrt{3}

2

\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}

Respuesta: E

Conceptos:cono esfera volumen

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Toma una sección axial, normaliza el radio superior a

1,

y llama

r

y

a

a los radios de la base inferior y de la esfera.

Take an axial cross-section, normalize the top radius to

1,

and call the bottom and sphere radii

r

and

a

Pista grande:

Usa la distancia del centro de la esfera a un lado inclinado para relacionar

r

y

a,

y luego compara los volúmenes del tronco y de la esfera

Use the distance from the sphere center to a slanted side to relate

r

and

a,

then compare the frustum and sphere volumes

Solución:

Sea el radio superior

1,

el radio inferior

r,

y el radio de la esfera

a.

La esfera toca ambas bases, así que la altura del tronco es

2a.

En una sección axial, coloca el centro de la esfera en

(0,a)

; el lado inclinado derecho que pasa por

(r,0)

y

(1,2a)

tiene ecuación

2ax+(r-1)y-2ar=0.

Su distancia a

(0,a)

es

a,

así que

(r+1)^2=4a^2+(r-1)^2,

lo que da

r=a^2.

El volumen del tronco es

\tfrac13 \pi (r^2 + r + 1)(2a).

Igualarlo al doble del volumen de la esfera

\tfrac43 \pi a^3

y usar

r = a^2

da

a^4 - 3a^2 + 1 = 0,

es decir

r^2 - 3r + 1 = 0.

La raíz positiva es

r = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the top radius be

1,

the bottom radius

r,

and the sphere radius

a.

The sphere touches both bases, so the frustum height is

2a.

In an axial cross-section put the sphere center at

(0,a)

; the right slanted side through

(r,0)

and

(1,2a)

has equation

2ax+(r-1)y-2ar=0.

Its distance from

(0,a)

is

a,

so

(r+1)^2=4a^2+(r-1)^2,

giving

r=a^2.

The frustum volume is

\tfrac13 \pi (r^2 + r + 1)(2a).

Setting it equal to twice the sphere volume

\tfrac43 \pi a^3

and using

r = a^2

yields

a^4 - 3a^2 + 1 = 0,

that is

r^2 - 3r + 1 = 0.

The positive root is

r = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.

Thus, the correct answer is E.