2014 AMC 12B Problema 16

Question

Sea

P

un polinomio cúbico con

P(0) = k,

P(1) = 2k,

y

P(-1) = 3k.

¿Cuánto vale

P(2) + P(-2)

?

Let

P

be a cubic polynomial with

P(0) = k,

P(1) = 2k,

and

P(-1) = 3k.

What is

P(2) + P(-2)?

0

k

6k

7k

14k

Respuesta: E

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Escribe

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k

usando

P(0)=k

.

Write

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k

using

P(0)=k

Pista grande:

Sumar

P(1)

y

P(-1)

despeja

b,

y

P(2)+P(-2) = 8b + 2k

.

Adding

P(1)

and

P(-1)

isolates

b,

and

P(2)+P(-2) = 8b + 2k

Solución:

Como

P(0) = k,

escribe

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k.

Entonces

P(1) = a+b+c+k = 2k

y

P(-1) = -a+b-c+k = 3k.

Sumando estas se obtiene

2b + 2k = 5k,

así que

2b = 3k.

Los términos de potencia impar se cancelan en la suma:

\begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k. \end{gathered}

Como

8b = 4(2b) = 12k,

esto es igual a

12k + 2k = 14k.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

P(0) = k,

write

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k.

Then

P(1) = a+b+c+k = 2k

and

P(-1) = -a+b-c+k = 3k.

Adding these gives

2b + 2k = 5k,

so

2b = 3k.

The odd-power terms cancel in the sum:

\begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k. \end{gathered}