2014 AMC 12B Problema 11

Question

Una lista de

11

enteros positivos tiene una media de

10,

una mediana de

9,

y una única moda de

8.

¿Cuál es el mayor valor posible de un entero de la lista?

A list of

11

positive integers has a mean of

10,

a median of

9,

and a unique mode of

8.

What is the largest possible value of an integer in the list?

24

30

31

33

35

Respuesta: E

Conceptos:media mediana (datos)moda optimización

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Los

11

números suman

110

.

The

11

numbers sum to

110

Pista grande:

Maximiza un número minimizando los otros diez, manteniendo el valor número

6

en

9

y a

8

como la única moda.

Maximize one number by minimizing the other ten, keeping the

6

th value

9

and

8

the unique mode

Solución:

La lista suma

11 \cdot 10 = 110.

Para maximizar una entrada, minimiza la suma de las otras diez.

Ordenados, el sexto número debe ser

9

(la mediana), y

8

debe aparecer más veces que cualquier otro valor. Probando

8

tres veces, los diez números más pequeños posibles son

1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,

que suman

75

y mantienen a

8

como la única moda.

La entrada más grande es entonces

110 - 75 = 35.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The list sums to

11 \cdot 10 = 110.

To maximize one entry, minimize the sum of the other ten.

Sorted, the sixth number must be

9

(the median), and

8

must appear more often than any other value. Trying

8

three times, the smallest possible ten numbers are

1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,

which sum to

75

and keep

8

the unique mode.

The largest entry is then

110 - 75 = 35.

Thus, the correct answer is E.