2014 AMC 12A Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2014 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Existen exactamente

N

números racionales distintos

k

tales que

|k|\lt200

, de modo que la ecuación

5x^2+kx+12=0

tiene al menos una solución entera

x

. ¿Cuánto vale

N

?

There are exactly

N

distinct rational numbers

k

such that

|k|\lt200

and

5x^2+kx+12=0

has at least one integer solution for

x.

What is

N?

6

12

24

48

78

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Si

x

es una raíz entera, despeja

k=-\dfrac{5x^2+12}{x}

=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right)

.

If

x

is an integer root, solve for

k=-\dfrac{5x^2+12}{x}

=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right)

Pista grande:

Exige

|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}\lt200

, y comprueba que los valores de

k

resultantes son todos distintos.

Require

|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}\lt200

, and check the resulting values of

k

are all distinct

Solución:

Si un entero

x

es raíz, entonces

k=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right),

así que

x\ne0.

Para

x\ge2,

|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}

crece, y

|x|=39

da

|k|\approx195.3\lt200,

mientras que

|x|=40

da

|k|\gt200.

Así

x

recorre

\pm1,\pm2,\dots,\pm39,

que son

78

valores. Si dos enteros

a\ne b

dieran el mismo

k,

entonces

5a+\tfrac{12}{a}=5b+\tfrac{12}{b}

obliga a

5ab=12,

que no tiene soluciones enteras, así que los

78

valores de

k

son todos distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If an integer

x

is a root, then

k=-\left(5x+\dfrac{12}{x}\right),

so

x\ne0.

For

x\ge2,

|k|=5|x|+\dfrac{12}{|x|}

increases, and

|x|=39

gives

|k|\approx195.3\lt200,

while

|x|=40

gives

|k|\gt200.

Thus

x

ranges over

\pm1,\pm2,\dots,\pm39,

which is

78

values. If two integers

a\ne b

gave the same

k,

then

5a+\tfrac{12}{a}=5b+\tfrac{12}{b}

forces

5ab=12,

which has no integer solutions, so all

78

values of

k

are distinct.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 19 en otros años