2014 AMC 12A Problema 15

Question

Un palíndromo de cinco dígitos es un entero positivo con dígitos respectivos

abcba,

donde

a

no es cero. Sea

S

la suma de todos los palíndromos de cinco dígitos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de

S

?

A five-digit palindrome is a positive integer with respective digits

abcba,

where

a

is not zero. Let

S

be the sum of all five-digit palindromes. What is the sum of the digits of

S?

9

18

27

36

45

Respuesta: B

Conceptos:palíndromo valor posicional sumatoria

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Un palíndromo

\overline{abcba}

es igual a

10001a+1010b+100c

.

A palindrome

\overline{abcba}

equals

10001a+1010b+100c

Pista grande:

Cada

a

aparece en

10\cdot10

palíndromos, cada

b

en

9\cdot10

, cada

c

en

9\cdot10

; combínalo con la suma de dígitos

45

.

Each

a

appears in

10\cdot10

palindromes, each

b

in

9\cdot10

, each

c

in

9\cdot10

; combine with the digit sum

45

Solución:

Escribe

\overline{abcba}=10001a+1010b+100c.

Al sumar sobre todos los palíndromos, cada valor de

a\in\{1,\dots,9\}

ocurre con

10\cdot10=100

opciones de

b,c,

y cada valor de

b

o

c

ocurre con

9\cdot10=90

opciones de los otros dos dígitos.

Usando

\sum a=\sum b=\sum c=45,

\begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000. \end{gathered}

La suma de los dígitos de

S

es

4+9+5=18.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write

\overline{abcba}=10001a+1010b+100c.

Summing over all palindromes, each value of

a\in\{1,\dots,9\}

occurs with

10\cdot10=100

choices of

b,c,

and each value of

b

or

c

occurs with

9\cdot10=90

choices of the other two digits.

Using

\sum a=\sum b=\sum c=45,

\begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000. \end{gathered}

The sum of the digits of

S

is

4+9+5=18.

Thus, the correct answer is B.