2013 AMC 12B Problema 7

Question

Jo y Blair se turnan para contar desde

1

hasta uno más que el último número dicho por la otra persona. Jo empieza diciendo “

1

”, así que Blair sigue diciendo “

1,

2

”. Luego Jo dice “

1,

2,

3

”, y así sucesivamente. ¿Cuál es el

53

-ésimo número dicho?

Jo and Blair take turns counting from

1

to one more than the last number said by the other person. Jo starts by saying “

1

”, so Blair follows by saying “

1,

2

”. Jo then says “

1,

2,

3

”, and so on. What is the

53

rd number said?

2

3

5

6

8

Respuesta: E

Conceptos:número triangular

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

El turno que termina en

n

consiste en que alguien dice

1, 2, \ldots, n

.

The turn that ends at

n

consists of someone saying

1, 2, \ldots, n

Pista grande:

Después del turno que termina en

n,

se han dicho un total de

\tfrac12 n(n+1)

números.

After the turn ending at

n,

a total of

\tfrac12 n(n+1)

numbers have been said

Solución:

Después del turno que cuenta hasta

n,

se han dicho exactamente

1 + 2 + \cdots + n = \tfrac12 n(n+1)

números. Para

n = 9

eso es

45.

El siguiente turno empieza

1, 2, \ldots,

así que el

53

-ésimo número es el

8

º número de ese turno, es decir

8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After the turn that counts up to

n,

exactly

1 + 2 + \cdots + n = \tfrac12 n(n+1)

numbers have been said. For

n = 9

that is

45.

The next turn starts

1, 2, \ldots,

so the

53

rd number is the

8

th number of that turn, namely

8.

Thus, the correct answer is E.