2013 AMC 12A Problema 8

Question

Dado que

x

e

y

son números reales distintos y no nulos tales que

x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y},

¿cuánto vale

xy

?

Given that

x

and

y

are distinct nonzero real numbers such that

x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y},

what is

xy?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{2}

1

2

4

Multiplica ambos lados por

xy

para eliminar las fracciones

Multiply both sides by

xy

to clear the fractions

El resultado se factoriza como

(x - y)(xy - 2) = 0

The result factors as

(x - y)(xy - 2) = 0

Multiplicando por

xy

se obtiene

x^2 y + 2y = xy^2 + 2x,

así que

\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0. \end{gathered}

Como

x \ne y,

se sigue que

xy = 2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Multiplying by

xy

gives

x^2 y + 2y = xy^2 + 2x,

so

\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0. \end{gathered}

Since

x \ne y,

it follows that

xy = 2.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 8 en otros años