2013 AMC 12A Problema 16

Question

A,

B,

y

C

son tres montones de piedras. El peso medio de las piedras en

A

es

40

libras, el peso medio de las piedras en

B

es

50

libras, el peso medio de las piedras en los montones combinados

A

y

B

es

43

libras, y el peso medio de las piedras en los montones combinados

A

y

C

es

44

libras. ¿Cuál es el mayor valor entero posible para el peso medio, en libras, de las piedras en los montones combinados

B

y

C

?

A,

B,

and

C

are three piles of rocks. The mean weight of the rocks in

A

is

40

pounds, the mean weight of the rocks in

B

is

50

pounds, the mean weight of the rocks in the combined piles

A

and

B

is

43

pounds, and the mean weight of the rocks in the combined piles

A

and

C

is

44

pounds. What is the greatest possible integer value for the mean in pounds of the rocks in the combined piles

B

and

C?

55

56

57

58

59

Respuesta: E

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sean

a, b, c

las cantidades; la media

43

de

A,B

da

7b = 3a

.

Let

a, b, c

be the counts; the

A,B

mean

43

gives

7b = 3a

Pista grande:

Escribe la media de

B,C

en términos de

k

y

c

usando

a = 7k,\ b = 3k

y la media

44

de

A,C

Write the

B,C

mean in terms of

k

and

c

using

a = 7k,\ b = 3k

and the

A,C

mean

44

Solución:

Sean

a, b, c

las cantidades de piedras de los montones. De

\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43,

obtenemos

7b = 3a,

así que

a = 7k

y

b = 3k.

Sea

\mu_{BC}

la media de

B

y

C.

Usando la media

44

de

A, C

para expresar

\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c},

hallamos

\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c},

y por tanto

(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k.

Como

B

es más pesado que

A,

la media de

B

y

C

supera

44,

lo que obliga a

178 - 3\mu_{BC} \gt 0,

es decir,

\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13.

El valor

59

se alcanza tomando

k=15c;

entonces el montón

C

tiene media

464

y la fórmula anterior da

\mu_{BC}=59.

Por tanto, la mayor media entera es

59.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

a, b, c

be the numbers of rocks in the piles. From

\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43,

we get

7b = 3a,

so

a = 7k

and

b = 3k.

Let

\mu_{BC}

be the mean of

B

and

C.

Using the

A, C

mean

44

to express

\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c},

we find

\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c},

so

(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k.

Since

B

is heavier than

A,

the mean of

B

and

C

exceeds

44,

forcing

178 - 3\mu_{BC} \gt 0,

i.e.

\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13.

The value

59

is attainable by taking

k=15c;

then pile

C

has mean

464

and the displayed formula gives

\mu_{BC}=59.

Thus the greatest integer mean is

59.

Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12A Problema 16

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años