2012 AMC 12B Problema 11

Question

En la ecuación de abajo,

A

y

B

son enteros positivos consecutivos, y

A,

B,

y

A + B

representan bases numéricas:

132_A + 43_B = 69_{A+B}.

¿Cuánto vale

A + B

?

In the equation below,

A

and

B

are consecutive positive integers, and

A,

B,

and

A + B

represent number bases:

132_A + 43_B = 69_{A+B}.

What is

A + B?

9

11

13

15

17

Respuesta: C

Conceptos:base numérica cuadrática

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Reescribe cada numeral en términos de su base, por ejemplo

132_A = A^2+3A+2

Rewrite each numeral in terms of its base, e.g.

132_A = A^2+3A+2

Pista grande:

Prueba tanto

B=A-1

como

B=A+1

y resuelve la ecuación cuadrática resultante en

A

Try both

B=A-1

and

B=A+1

and solve the resulting quadratic in

A

Solución:

Escribiendo los numerales,

132_A=A^2+3A+2,

43_B=4B+3,

y

69_{A+B}=6(A+B)+9.

Con

B=A+1,

la ecuación se convierte en

A^2+3A+2

+4(A+1)+3

=6(2A+1)+9,

que se simplifica a

(A-6)(A+1)=0.

La solución positiva es

A=6,

así que

B=7.

(El caso

B=A-1

da

A^2-5A-2=0,

que no tiene solución entera.)

Por lo tanto

A+B=13.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Writing the numerals out,

132_A=A^2+3A+2,

43_B=4B+3,

and

69_{A+B}=6(A+B)+9.

With

B=A+1,

the equation becomes

A^2+3A+2

+4(A+1)+3

=6(2A+1)+9,

which simplifies to

(A-6)(A+1)=0.

The positive solution is

A=6,

so

B=7.

(The case

B=A-1

gives

A^2-5A-2=0,

which has no integer solution.)

Therefore

A+B=13.

Thus, the correct answer is C.