2012 AMC 12A Problema 8

Question

Un promedio iterativo de los números

1,

2,

3,

4,

y

5

se calcula de la siguiente manera. Ordena los cinco números en algún orden. Halla la media de los dos primeros números, luego halla la media de eso con el tercer número, luego la media de eso con el cuarto número y, finalmente, la media de eso con el quinto número. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible que se puede obtener mediante este procedimiento?

An iterative average of the numbers

1,

2,

3,

4,

and

5

is computed in the following way. Arrange the five numbers in some order. Find the mean of the first two numbers, then find the mean of that with the third number, then the mean of that with the fourth number, and finally the mean of that with the fifth number. What is the difference between the largest and smallest possible values that can be obtained using this procedure?

\dfrac{31}{16}

2

\dfrac{17}{8}

3

\dfrac{65}{16}

Respuesta: C

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Calcula el peso que cada posición aporta al promedio final

Work out the weight each position contributes to the final average

Pista grande:

Para el orden

a,b,c,d,e

, el resultado es

\dfrac{a+b+2c+4d+8e}{16}

; las últimas posiciones son las que más importan

For the order

a,b,c,d,e

the result is

\dfrac{a+b+2c+4d+8e}{16}

; the last entries matter most

Solución:

Para el orden

a, b, c, d, e,

el promedio iterativo es

\frac{a + b + 2c + 4d + 8e}{16}.

Las posiciones posteriores tienen el mayor peso.

El valor máximo usa

(a,b,c,d,e) = (1,2,3,4,5),

dando

\dfrac{65}{16},

y el mínimo usa

(5,4,3,2,1),

dando

\dfrac{31}{16}

.

La diferencia es

\dfrac{65}{16} - \dfrac{31}{16} = \dfrac{34}{16} = \dfrac{17}{8}

.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For the order

a, b, c, d, e,

the iterative average is

\frac{a + b + 2c + 4d + 8e}{16}.

The later positions carry the most weight.

The largest value uses

(a,b,c,d,e) = (1,2,3,4,5),

giving

\dfrac{65}{16},

and the smallest uses

(5,4,3,2,1),