2012 AMC 12A Problema 16

Question

El círculo

C_1

tiene su centro

O

sobre el círculo

C_2.

Los dos círculos se cortan en

X

y

Y.

El punto

Z

, en el exterior de

C_1

, está sobre el círculo

C_2

y

XZ = 13,

OZ = 11,

y

YZ = 7.

¿Cuál es el radio del círculo

C_1

?

Circle

C_1

has its center

O

lying on circle

C_2.

The two circles meet at

X

and

Y.

Point

Z

in the exterior of

C_1

lies on circle

C_2

and

XZ = 13,

OZ = 11,

and

YZ = 7.

What is the radius of circle

C_1?

5

\sqrt{26}

3\sqrt{3}

2\sqrt{7}

\sqrt{30}

Respuesta: E

Conceptos:ley de los cosenos cuerda círculo

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Sea

r

el radio, de modo que

OX = OY = r

; estas cuerdas iguales de

C_2

subtienden ángulos iguales en

Z

Let

r

be the radius, so

OX = OY = r

; these equal chords of

C_2

subtend equal angles at

Z

Pista grande:

Aplica la ley de cosenos a los triángulos

XZO

y

YZO

e iguala las dos expresiones para

\cos\angle Z

Apply the Law of Cosines to triangles

XZO

and

YZO

and set the two expressions for

\cos\angle Z

equal

Solución:

Sea

r

el radio de

C_1,

de modo que

OX = OY = r.

Estas son cuerdas iguales de

C_2,

así que subtienden ángulos iguales en

Z:

\angle XZO = \angle OZY.

Aplicando la ley de cosenos a los triángulos

XZO

y

YZO,

\begin{aligned} &\frac{13^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 13 \cdot 11} \\ &= \frac{7^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 7 \cdot 11}. \end{aligned}

Al eliminar los denominadores y resolver se obtiene

r^2 = 30,

así que

r = \sqrt{30}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

r

be the radius of

C_1,

so

OX = OY = r.

These are equal chords of

C_2,

so they subtend equal angles at

Z:

\angle XZO = \angle OZY.

Applying the Law of Cosines to triangles

XZO

and

YZO,

\begin{aligned} &\frac{13^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 13 \cdot 11} \\ &= \frac{7^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 7 \cdot 11}. \end{aligned}

Clearing denominators and solving gives

r^2 = 30,

so

r = \sqrt{30}.

Thus, the correct answer is E.