2012 AMC 12A Problema 15
Intenta el Problema 15 del 2012 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
15.
Un cuadrado de se divide en cuadrados unitarios. Cada cuadrado unitario se pinta de blanco o de negro, siendo cada color igualmente probable, elegido de forma independiente y al azar. Luego el cuadrado se rota en sentido horario alrededor de su centro, y todo cuadrado blanco que quede en una posición antes ocupada por un cuadrado negro se pinta de negro. Los colores de todos los demás cuadrados permanecen sin cambios. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuadrícula sea ahora completamente negra?
A square is partitioned into unit squares. Each unit square is painted either white or black with each color being equally likely, chosen independently and at random. The square is then rotated clockwise about its center, and every white square in a position formerly occupied by a black square is painted black. The colors of all other squares are left unchanged. What is the probability that the grid is now entirely black?
Respuesta: A
Solución:
Las cuatro esquinas forman un ciclo bajo la rotación, los cuatro cuadrados de los bordes forman otro, y el centro queda fijo. Estos tres grupos son independientes.
Una posición sigue blanca exactamente cuando tanto ella como el cuadrado que gira hasta ella eran blancos al principio. Por tanto, las esquinas terminan todas negras exactamente cuando su cadena cíclica no tiene dos blancos adyacentes. Las cadenas permitidas son la totalmente negra, las que tienen un blanco y las que tienen dos blancos opuestos: de las posibilidades. Así, la probabilidad para las esquinas es El mismo argumento vale para los cuatro cuadrados de los bordes.
El centro termina negro solo si empezó negro, con probabilidad Al multiplicar, toda la cuadrícula queda negra con probabilidad
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The four corners form one cycle under the rotation, the four edge squares form another, and the center is fixed. These three groups are independent.
A position remains white exactly when both it and the square rotated into it were originally white. Thus the corners end black exactly when their cyclic string has no adjacent pair of whites. The allowed strings are the all-black string, the strings with one white, and the strings with two opposite whites: of the possibilities. Hence the corner probability is The same argument applies to the four edge squares.
The center is black at the end only if it started black, with probability Multiplying, the whole grid is black with probability
Thus, the correct answer is A.
El Problema 15 en otros años
1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B