2012 AMC 12A Problema 10

Question

Un triángulo tiene área

30,

un lado de longitud

10,

y la mediana a ese lado de longitud

9.

Sea

\theta

el ángulo agudo formado por ese lado y la mediana. ¿Cuánto vale

\sin\theta

?

A triangle has area

30,

one side of length

10,

and the median to that side of length

9.

Let

\theta

be the acute angle formed by that side and the median. What is

\sin\theta?

\dfrac{3}{10}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{9}{20}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{9}{10}

Una mediana divide un triángulo en dos partes de igual área

A median splits a triangle into two pieces of equal area

Uno de los medios triángulos tiene lados

5

y

9

con ángulo comprendido

\theta

y área

15

One half-triangle has sides

5

and

9

with included angle

\theta

and area

15

La mediana divide el triángulo en dos triángulos de igual área

15.

Uno de ellos tiene los dos lados de longitud

5

(la mitad de la base) y

9

(la mediana) que se encuentran en el ángulo

\theta.

Su área es

\tfrac12 \cdot 5 \cdot 9 \sin\theta = 15,

así que

\sin\theta = \dfrac{2 \cdot 15}{5 \cdot 9} = \dfrac{2}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The median divides the triangle into two triangles of equal area

15.

One of them has the two sides of length

5

(half the base) and

9

(the median) meeting at angle

\theta.

Its area is

\tfrac12 \cdot 5 \cdot 9 \sin\theta = 15,

so

\sin\theta = \dfrac{2 \cdot 15}{5 \cdot 9} = \dfrac{2}{3}.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 10 en otros años