2011 AMC 12B Problema 8

Question

Keiko camina una vuelta alrededor de una pista exactamente a la misma velocidad constante todos los días. Los lados de la pista son rectos y los extremos son semicírculos. La pista tiene un ancho de

6

metros, y tarda

36

segundos más en recorrer el borde exterior de la pista que el borde interior. ¿Cuál es la velocidad de Keiko en metros por segundo?

Keiko walks once around a track at exactly the same constant speed every day. The sides of the track are straight, and the ends are semicircles. The track has width

6

meters, and it takes her

36

seconds longer to walk around the outside edge of the track than around the inside edge. What is Keiko’s speed in meters per second?

\dfrac{\pi}{3}

\dfrac{2\pi}{3}

\pi

\dfrac{4\pi}{3}

\dfrac{5\pi}{3}

Respuesta: A

Conceptos:circunferencia distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Las porciones rectas tienen la misma longitud en ambos bordes, así que solo difieren los extremos curvos.

The straight portions have the same length on both edges, so only the curved ends differ

Pista grande:

Los dos extremos semicirculares forman círculos completos cuyos radios difieren en

6

.

The two semicircular ends form full circles whose radii differ by

6

Solución:

Los lados rectos tienen la misma longitud para ambos recorridos, así que la diferencia de longitud proviene solo de los dos extremos semicirculares. Si el radio interior es

r,

esos extremos se combinan en un círculo completo, y la longitud adicional es

2\pi(r+6)-2\pi r=12\pi.

Si su velocidad es

x

metros por segundo, entonces el tiempo adicional da

36x=12\pi,

así que

x=\dfrac{\pi}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The straight sides are the same length for both paths, so the difference in length comes only from the two semicircular ends. If the inner radius is

r,

those ends combine into a full circle, and the extra length is

2\pi(r+6)-2\pi r=12\pi.

If her speed is

x

meters per second, then the extra time gives

36x=12\pi,

so

x=\dfrac{\pi}{3}.

Thus, the correct answer is A.