2010 AMC 12B Problema 15

Question

¿Para cuántas ternas ordenadas

(x, y, z)

de enteros no negativos menores que

20

hay exactamente dos elementos distintos en el conjunto

\{i^x, (1+i)^y, z\},

donde

i=\sqrt{-1}

?

For how many ordered triples

(x, y, z)

of nonnegative integers less than

20

are there exactly two distinct elements in the set

\{i^x, (1+i)^y, z\},

where

i=\sqrt{-1}?

149

205

215

225

235

Respuesta: D

Conceptos:número complejo análisis por casos conteo básico

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

|i^x|=1

siempre, mientras que

(1+i)^y

tiene magnitud

2^{\frac{y}{2}}

|i^x|=1

always, while

(1+i)^y

has magnitude

2^{\frac{y}{2}}

Pista grande:

Divide en tres casos según cuáles dos de las tres entradas coinciden, manteniendo la tercera distinta

Split into three cases by which two of the three entries coincide, keeping the third distinct

Solución:

Necesitamos que exactamente dos de

i^x,

(1+i)^y,

z

sean iguales, con el tercero diferente. Los tres casos son los tres posibles pares iguales.

Caso $i^x=(1+i)^y:$ como

|i^x|=1

pero

|(1+i)^y|=2^{\frac{y}{2}}\gt1

para

y\ge1,

necesitamos

y=0,

así que

(1+i)^0=1

y

i^x=1,

es decir

x\in\{0,4,8,12,16\}.

Entonces

z

es cualquiera de los

19

valores distintos de

1.

Esto da

5\cdot19=95

ternas.

Caso $i^x=z:$ el único valor entero no negativo de

i^x

es

1

(con

x

múltiplo de

4

), así que

z=1

y

(1+i)^y\ne1,

lo que significa

y\ge1.

Esto da

5\cdot19=95

ternas.

Caso $(1+i)^y=z:$ como

(1+i)^2=2i,

la potencia

(1+i)^y

es un entero no negativo menor que

20

solo para

y=0

(valor

1

) o

y=8

(valor

16

). Si

y=0,\ z=1,

necesitamos

i^x\ne1,

así que

x

no es múltiplo de

4

(

15

valores). Si

y=8,\ z=16,

entonces

i^x

nunca es

16,

así que

x

es libre (

20

valores). Esto da

15+20=35

ternas.

En total

95+95+35=225.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We need exactly two of

i^x,

(1+i)^y,

z

equal, with the third different. The three cases are the three possible equal pairs.

Case $i^x=(1+i)^y:$ since

|i^x|=1

but

|(1+i)^y|=2^{\frac{y}{2}}\gt1

for

y\ge1,

we need

y=0,

so

(1+i)^0=1

and

i^x=1,

i.e.

x\in\{0,4,8,12,16\}.

Then

z

is any of the

19

values other than

1.

This gives

5\cdot19=95

triples.

Case $i^x=z:$ the only nonnegative-integer value of

i^x

is

1

(with

x

a multiple of

4

), so

z=1

and

(1+i)^y\ne1,

meaning

y\ge1.

This gives

5\cdot19=95

triples.

Case $(1+i)^y=z:$ since

(1+i)^2=2i,

the power

(1+i)^y

is a nonnegative integer below

20

only for

y=0

(value

1

) or

y=8

(value

16

). If

y=0,\ z=1,

we need

i^x\ne1,

so

x

is not a multiple of

4

(

15

values). If

y=8,\ z=16,

then

i^x

is never

16,

so

x

is free (

20

values). This gives

15+20=35

triples.

Altogether

95+95+35=225.

Thus, the correct answer is D.

2010 AMC 12B Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años