2010 AMC 12A Problema 15

Question

Una moneda se altera de modo que la probabilidad de que caiga en cara es menor que

\dfrac12,

y cuando la moneda se lanza cuatro veces, la probabilidad de un número igual de caras y cruces es

\dfrac{1}{6}.

¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga en cara?

A coin is altered so that the probability that it lands on heads is less than

\dfrac12,

and when the coin is flipped four times, the probability of an equal number of heads and tails is

\dfrac{1}{6}.

What is the probability that the coin lands on heads?

\dfrac{\sqrt{15}-3}{6}

\dfrac{6-\sqrt{6\sqrt6+2}}{12}

\dfrac{\sqrt2-1}{2}

\dfrac{3-\sqrt3}{6}

\dfrac{\sqrt3-1}{2}

La probabilidad de dos caras y dos cruces es

\binom{4}{2}p^2(1-p)^2

.

The chance of two heads and two tails is

\binom{4}{2}p^2(1-p)^2

Esto se reduce a

p(1-p)=\dfrac16;

resuelve la ecuación cuadrática y toma la raíz con

p\lt\dfrac12

.

This reduces to

p(1-p)=\dfrac16;

solve the quadratic and take the root with

p\lt\dfrac12

Sea

p

la probabilidad de cara. La probabilidad de dos caras y dos cruces en cuatro lanzamientos es

\begin{aligned} \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 &= 6p^2(1-p)^2 \\ &= \frac16. \end{aligned}

Así que

p^2(1-p)^2=\dfrac{1}{36},

por lo tanto

p(1-p)=\dfrac16.

Esto da

6p^2-6p+1=0,

así que

p=\dfrac{3\pm\sqrt3}{6}.

Como

p\lt\dfrac12,

tomamos

p=\dfrac{3-\sqrt3}{6}.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let

p

be the probability of heads. The chance of two heads and two tails in four flips is

\begin{aligned} \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 &= 6p^2(1-p)^2 \\ &= \frac16. \end{aligned}

Thus

p^2(1-p)^2=\dfrac{1}{36},

so

p(1-p)=\dfrac16.

This gives

6p^2-6p+1=0,

so

p=\dfrac{3\pm\sqrt3}{6}.

Since

p\lt\dfrac12,

we take

p=\dfrac{3-\sqrt3}{6}.

Thus, D is the correct answer.

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