2010 AMC 12A Problema 10

Question

Los primeros cuatro términos de una sucesión aritmética son

p,

9,

3p-q,

y

3p+q.

¿Cuál es el término

2010

de esta sucesión?

The first four terms of an arithmetic sequence are

p,

9,

3p-q,

and

3p+q.

What is the

2010

th term of this sequence?

8041

8043

8045

8047

8049

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

La diferencia común es igual a

(3p+q)-(3p-q)=2q

.

The common difference equals

(3p+q)-(3p-q)=2q

Pista grande:

Además

9-p=2q

y

(3p-q)-9=2q;

despeja

p

y

q

.

Also

9-p=2q

and

(3p-q)-9=2q;

solve for

p

and

q

Solución:

Los términos consecutivos difieren en una diferencia común

d.

De los dos últimos términos,

d=(3p+q)-(3p-q)=2q.

De los dos primeros términos,

9-p=d=2q,

y del segundo y el tercero,

(3p-q)-9=d=2q.

Resolviendo este sistema se obtiene

p=5,

q=2,

y

d=4.

El término

2010

es

\begin{aligned} p+2009d &= 5+2009\cdot4 \\ &= 8041. \end{aligned}

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Consecutive terms differ by a common difference

d.

From the last two terms,

d=(3p+q)-(3p-q)=2q.

From the first two terms,

9-p=d=2q,

and from the second and third,

(3p-q)-9=d=2q.

Solving this system gives

p=5,

q=2,

and

d=4.

The

2010

th term is

\begin{aligned} p+2009d &= 5+2009\cdot4 \\ &= 8041. \end{aligned}

Thus, A is the correct answer.