2009 AMC 12B Problema 8

Question

Cuando un cubo está lleno de agua hasta dos tercios, el cubo y el agua pesan

a

kilogramos. Cuando el cubo está lleno hasta la mitad, el peso total es de

b

kilogramos. En términos de

a

y

b,

¿cuál es el peso total en kilogramos cuando el cubo está lleno de agua?

When a bucket is two-thirds full of water, the bucket and water weigh

a

kilograms. When the bucket is one-half full of water the total weight is

b

kilograms. In terms of

a

and

b,

what is the total weight in kilograms when the bucket is full of water?

\dfrac{2}{3}a + \dfrac{1}{3}b

\dfrac{3}{2}a - \dfrac{1}{2}b

\dfrac{3}{2}a + b

\dfrac{3}{2}a + 2b

3a - 2b

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Sea

x

el peso del cubo vacío y

y,

el peso de una carga completa de agua, de modo que

x + \tfrac{2}{3}y = a

y

x + \tfrac{1}{2}y = b

.

Let the empty bucket weigh

x

and a full load of water weigh

y,

so

x + \tfrac{2}{3}y = a

and

x + \tfrac{1}{2}y = b

Pista grande:

Resta las dos ecuaciones para hallar

y,

luego calcula

x + y

.

Subtract the two equations to find

y,

then compute

x + y

Solución:

Sea

x

el peso del cubo y

y

el peso de un cubo lleno de agua. Entonces

x + \dfrac{2}{3}y = a

y

x + \dfrac{1}{2}y = b.

Al restar se obtiene

\dfrac{1}{6}y = a - b,

así que

y = 6a - 6b

y

x = b - \dfrac{1}{2}y = 4b - 3a.

El peso lleno es

x + y = 3a - 2b.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

x

be the bucket’s weight and

y

the weight of a full bucket of water. Then

x + \dfrac{2}{3}y = a

and

x + \dfrac{1}{2}y = b.

Subtracting gives

\dfrac{1}{6}y = a - b,

so

y = 6a - 6b

and

x = b - \dfrac{1}{2}y = 4b - 3a.

The full weight is

x + y = 3a - 2b.

Thus, the correct answer is E.