2009 AMC 12A Problema 16

Question

Un círculo con centro

C

es tangente a los semiejes positivos

x

e

y

, y tangente externamente al círculo centrado en

(3, 0)

de radio

1.

¿Cuál es la suma de todos los posibles radios del círculo con centro

C

?

A circle with center

C

is tangent to the positive

x

- and

y

-axes and externally tangent to the circle centered at

(3, 0)

with radius

1.

What is the sum of all possible radii of the circle with center

C?

3

4

6

8

9

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Un círculo tangente a ambos semiejes positivos con radio

r

tiene centro

(r, r)

.

A circle tangent to both positive axes with radius

r

has center

(r, r)

Pista grande:

La tangencia externa da distancia

r + 1

entre

(r, r)

y

(3, 0);

forma una ecuación cuadrática en

r

y usa Vieta.

External tangency gives distance

r + 1

between

(r, r)

and

(3, 0);

form a quadratic in

r

and use Vieta

Solución:

Un círculo tangente a ambos semiejes positivos con radio

r

tiene centro

(r, r).

La tangencia externa con el círculo en

(3, 0)

de radio

1

significa que la distancia entre centros es

r + 1

:

(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2.

Desarrollando se obtiene

r^2 - 8r + 8 = 0.

Ambas raíces

r = 4 \pm 2\sqrt{2}

son positivas, y por las fórmulas de Vieta su suma es

8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A circle tangent to both positive axes with radius

r

has center

(r, r).

External tangency to the circle at

(3, 0)

of radius

1

means the distance between centers is

r + 1

:

(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2.

Expanding gives

r^2 - 8r + 8 = 0.

Both roots

r = 4 \pm 2\sqrt{2}

are positive, and by Vieta’s formulas their sum is

8.

Thus, the correct answer is D.