2009 AMC 12A Problema 15

Question

¿Para qué valor de

n

se cumple

\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i? \end{aligned}

Nota: aquí

i = \sqrt{-1}.

For what value of

n

is

\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i? \end{aligned}

Note: here

i = \sqrt{-1}.

24

48

49

97

98

Respuesta: D

Conceptos:número complejo emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Agrupa los términos en bloques de cuatro potencias consecutivas de

i

.

Group the terms in blocks of four consecutive powers of

i

Pista grande:

Cada bloque

(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}

con

k

múltiplo de

4

es igual a

2 - 2i

.

Each block

(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}

with

k

a multiple of

4

equals

2 - 2i

Solución:

Para

k

múltiplo de

4,

\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i. \end{aligned}

Sumar los primeros

96

términos (es decir

24

bloques) da

24(2 - 2i) = 48 - 48i.

Sumar el siguiente término

97i^{97} = 97i

produce

48 - 48i + 97i = 48 + 49i.

Así que

n = 97.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For

k

a multiple of

4,

\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i. \end{aligned}

Summing the first

96

terms (that is

24

blocks) gives

24(2 - 2i) = 48 - 48i.

Adding the next term

97i^{97} = 97i

yields

48 - 48i + 97i = 48 + 49i.

So

n = 97.

Thus, the correct answer is D.