2008 AMC 12B Problema 15

Question

Sobre cada lado de un cuadrado unitario se construye un triángulo equilátero de lado

1

. Sobre cada nuevo lado de cada triángulo equilátero se construye otro triángulo equilátero de lado

1

. Los interiores del cuadrado y de los

12

triángulos no tienen puntos en común. Sea

R

la región formada por la unión del cuadrado y todos los triángulos, y sea

S

el menor polígono convexo que contiene a

R.

¿Cuál es el área de la región que está dentro de

S

pero fuera de

R

?

On each side of a unit square, an equilateral triangle of side length

1

is constructed. On each new side of each equilateral triangle, another equilateral triangle of side length

1

is constructed. The interiors of the square and the

12

triangles have no points in common. Let

R

be the region formed by the union of the square and all the triangles, and let

S

be the smallest convex polygon that contains

R.

What is the area of the region that is inside

S

but outside

R?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{\sqrt{2}}{4}

1

\sqrt{3}

2\sqrt{3}

Respuesta: C

Conceptos:área del triángulo persecución de ángulos trigonometría

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

El hueco entre

S

y

R

son cuatro triángulos pequeños, uno en cada esquina del cuadrado.

The gap between

S

and

R

is four small triangles, one at each corner of the square

Pista grande:

Cada triángulo del hueco tiene dos lados de longitud

1

que se encuentran en un ángulo

360^\circ - 90^\circ - 4 \cdot 60^\circ;

usa

\tfrac12 ab \sin C

.

Each gap triangle has two sides of length

1

meeting at angle

360^\circ - 90^\circ - 4 \cdot 60^\circ;

use

\tfrac12 ab \sin C

Solución:

La envolvente convexa

S

difiere de

R

solo cerca de las cuatro esquinas del cuadrado, donde se forma un pequeño hueco triangular. Cada triángulo del hueco tiene dos lados de longitud

1

(los bordes exteriores de triángulos adyacentes).

El ángulo entre esos dos lados es

360^\circ - 90^\circ - 4 \cdot 60^\circ = 30^\circ,

así que cada hueco tiene área

\tfrac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 30^\circ = \tfrac14.

El área total es

4 \cdot \tfrac14 = 1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The convex hull

S

differs from

R

only near the four corners of the square, where a small triangular gap forms. Each gap triangle has two sides of length

1

(outer edges of adjacent triangles).

The angle between those two sides is

360^\circ - 90^\circ - 4 \cdot 60^\circ = 30^\circ,

so each gap has area

\tfrac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 30^\circ = \tfrac14.

The total area is

4 \cdot \tfrac14 = 1.

Thus, the correct answer is C.