2007 AMC 12B Problema 7

Question

Todos los lados del pentágono convexo

ABCDE

tienen la misma longitud, y

\angle A=\angle B=90^\circ.

¿Cuál es la medida en grados de

\angle E

?

All sides of the convex pentagon

ABCDE

are of equal length, and

\angle A=\angle B=90^\circ.

What is the degree measure of

\angle E?

90

108

120

144

150

Respuesta: E

Conceptos:triángulo equilátero cuadrado (geometría)suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Los lados

AB,BC,EA

y los dos ángulos rectos hacen que

ABCE

sea un cuadrado.

The sides

AB,BC,EA

and the two right angles make

ABCE

a square

Pista grande:

Entonces

\triangle CDE

es equilátero, y

\angle E=\angle AEC+\angle CED

.

Then

\triangle CDE

is equilateral, and

\angle E=\angle AEC+\angle CED

Solución:

Como

AB=BC=EA

y

\angle A=\angle B=90^\circ,

el cuadrilátero

ABCE

es un cuadrado, así que

\angle AEC=90^\circ

y

EC

es igual a la longitud del lado común.

Entonces

CD=DE=EC,

así que

\triangle CDE

es equilátero y

\angle CED=60^\circ.

Por lo tanto,

\begin{aligned} \angle E&=\angle AEC+\angle CED \\ &=90^\circ+60^\circ \\ &=150^\circ. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because

AB=BC=EA

and

\angle A=\angle B=90^\circ,

quadrilateral

ABCE

is a square, so

\angle AEC=90^\circ

and

EC

equals the common side length.

Then

CD=DE=EC,

so

\triangle CDE

is equilateral and

\angle CED=60^\circ.

Therefore

\begin{aligned} \angle E&=\angle AEC+\angle CED \\ &=90^\circ+60^\circ \\ &=150^\circ. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.