2005 AMC 12B Problema 14

Question

Un círculo con centro

(0, k),

con

k \gt 6,

es tangente a las rectas

y = x,

y = -x

y

y = 6.

¿Cuál es el radio de este círculo?

A circle having center

(0, k),

with

k \gt 6,

is tangent to the lines

y = x,

y = -x

and

y = 6.

What is the radius of this circle?

6\sqrt{2} - 6

6

6\sqrt{2}

12

6 + 6\sqrt{2}

Respuesta: E

Conceptos:círculo recta tangente geometría analítica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

La tangencia con

y = 6

con centro

(0,k)

y

k \gt 6

da

r = k - 6

.

Tangency to

y = 6

with center

(0,k)

and

k \gt 6

gives

r = k - 6

Pista grande:

La distancia de

(0,k)

a la recta

y = x

es

\dfrac{k}{\sqrt2},

y también es igual a

r

.

The distance from

(0,k)

to the line

y = x

is

\dfrac{k}{\sqrt2},

and it also equals

r

Solución:

Como el círculo es tangente a

y = 6

y su centro

(0, k)

está por encima de esa recta, el radio es

r = k - 6.

La distancia de

(0, k)

a la recta

x - y = 0

es

\dfrac{|0 - k|}{\sqrt2} = \dfrac{k}{\sqrt2},

y esto también debe ser igual a

r.

Al igualar

\dfrac{k}{\sqrt2} = k - 6

se obtiene

k = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt2 - 1}

= 6\sqrt2\,(\sqrt2+1)

= 12 + 6\sqrt2.

Entonces

r = k - 6 = 6 + 6\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since the circle is tangent to

y = 6

and its center

(0, k)

is above that line, the radius is

r = k - 6.

The distance from

(0, k)

to the line

x - y = 0

is

\dfrac{|0 - k|}{\sqrt2} = \dfrac{k}{\sqrt2},

and this must also equal

r.

Setting

\dfrac{k}{\sqrt2} = k - 6