2005 AMC 12B Problema 10

Question

El primer término de una sucesión es

2005.

Cada término siguiente es la suma de los cubos de los dígitos del término anterior. ¿Cuál es el término

2005

de la sucesión?

The first term of a sequence is

2005.

Each succeeding term is the sum of the cubes of the digits of the previous term. What is the

2005

th term of the sequence?

29

55

85

133

250

Respuesta: E

Conceptos:dígitos recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Calcula los primeros términos y busca un ciclo que se repite.

Compute the first several terms and look for a repeating cycle

Pista grande:

Cuando un valor se repite, los términos posteriores se repiten con el mismo periodo; usa el índice del término módulo ese periodo

Once a value repeats, the later terms repeat with the same period; use the term index modulo that period

Solución:

La sucesión comienza

2005, 133, 55, 250, 133, \ldots

ya que

2^3 + 0^3 + 0^3 + 5^3 = 133,

1^3 + 3^3 + 3^3 = 55,

5^3 + 5^3 = 250,

y

2^3 + 5^3 + 0^3 = 133.

Después del término inicial

2005,

los términos recorren cíclicamente

133, 55, 250

con periodo

3.

El término

n

para

n \ge 2

es la entrada

((n-2)\bmod 3)

de

133, 55, 250.

Como

2005 - 2 = 2003 \equiv 2 \pmod 3,

el término

2005

es

250.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sequence begins

2005, 133, 55, 250, 133, \ldots

since

2^3 + 0^3 + 0^3 + 5^3 = 133,

1^3 + 3^3 + 3^3 = 55,

5^3 + 5^3 = 250,

and

2^3 + 5^3 + 0^3 = 133.

After the initial

2005,

the terms cycle through

133, 55, 250

with period

3.

Term

n

for

n \ge 2

is the

((n-2)\bmod 3)

th entry of

133, 55, 250.

Since

2005 - 2 = 2003 \equiv 2 \pmod 3,

the

2005

th term is

250.

Thus, the correct answer is E.