2005 AMC 12A Problema 8

Question

Sean

A,

M,

y

C

dígitos tales que

\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005. \end{aligned}

¿Cuánto vale

A

?

Let

A,

M,

and

C

be digits with

\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005. \end{aligned}

What is

A?

1

2

3

4

5

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos dígitos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Factoriza

2005

en primos.

Factor

2005

into primes

Pista grande:

La suma de dígitos

A + M + C

es a lo sumo

27,

lo que determina a qué factor es igual.

The digit sum

A + M + C

is at most

27,

which pins down which factor it equals

Solución:

Como

A + M + C \le 9 + 9 + 9 = 27,

y

2005 = 5 \cdot 401,

la suma de dígitos solo puede ser

1

o

5.

No puede ser

1,

porque entonces

100A+10M+C=2005>999.

Por lo tanto, debe ser el factor no trivial menor:

\begin{aligned} &100A + 10M + C = 401, \\ &\quad A + M + C = 5. \end{aligned}

Leyendo los dígitos,

A = 4,

M = 0,

y

C = 1.

Así, la respuesta correcta es D.

Since

A + M + C \le 9 + 9 + 9 = 27,

and

2005 = 5 \cdot 401,

the digit sum can only be

1

or

5.

It cannot be

1,

because then

100A+10M+C=2005>999.

Thus it must be the smaller nontrivial factor:

\begin{aligned} &100A + 10M + C = 401, \\ &\quad A + M + C = 5. \end{aligned}

Reading off the digits,

A = 4,

M = 0,

and

C = 1.

Thus, the correct answer is D.