2005 AMC 12A Problema 16

Question

Se dibujan tres círculos de radio

s

en el primer cuadrante del plano

xy

. El primer círculo es tangente a ambos ejes, el segundo es tangente al primer círculo y al eje

x

, y el tercero es tangente al primer círculo y al eje

y

. Un círculo de radio

r \gt s

es tangente a ambos ejes y al segundo y tercer círculos. ¿Cuánto vale

\frac{r}{s}

?

Three circles of radius

s

are drawn in the first quadrant of the

xy

-plane. The first circle is tangent to both axes, the second is tangent to the first circle and the

x

-axis, and the third is tangent to the first circle and the

y

-axis. A circle of radius

r \gt s

is tangent to both axes and to the second and third circles. What is

\frac{r}{s}?

5

6

8

9

10

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Ubica los centros según sus radios: el círculo grande está en

(r, r)

y el segundo círculo pequeño en

(3s, s)

.

Place the centers by their radii: the big circle is at

(r, r)

and the second small circle at

(3s, s)

Pista grande:

La distancia entre el centro grande y un centro pequeño tangente es igual a

r + s;

aplica el teorema de Pitágoras a las separaciones horizontal y vertical.

The distance between the big center and a tangent small center equals

r + s;

apply the Pythagorean theorem to the horizontal and vertical gaps

Solución:

Coloca el centro del círculo grande en

(r, r)

y el centro del segundo círculo pequeño en

(3s, s).

Son tangentes externamente, así que la distancia entre centros es

r + s.

Las separaciones horizontal y vertical son

r - 3s

y

r - s,

así que

(r + s)^2 = (r - 3s)^2 + (r - s)^2.

Al desarrollar se obtiene

0 = r^2 - 10rs + 9s^2

= (r - 9s)(r - s).

Como

r \ne s,

obtenemos

r = 9s,

así que

\frac{r}{s} = 9.

Así, la respuesta correcta es D.

Put the big circle’s center at

(r, r)

and the second small circle’s center at

(3s, s).

They are externally tangent, so the distance between centers is

r + s.

The horizontal and vertical gaps are

r - 3s

and

r - s,

so

(r + s)^2 = (r - 3s)^2 + (r - s)^2.

Expanding gives

0 = r^2 - 10rs + 9s^2

= (r - 9s)(r - s).

Since

r \ne s,

we get

r = 9s,

so

\frac{r}{s} = 9.

Thus, the correct answer is D.