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2003 AMC 12B Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2003 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Se construyen tres semicírculos de radio 11 sobre el diámetro AB‾\overline{AB} de un semicírculo de radio 2.2. Los centros de los semicírculos pequeños dividen AB‾\overline{AB} en cuatro segmentos de igual longitud, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región sombreada que está dentro del semicírculo grande pero fuera de los semicírculos más pequeños?

Three semicircles of radius 11 are constructed on diameter AB‾\overline{AB} of a semicircle of radius 2.2. The centers of the small semicircles divide AB‾\overline{AB} into four line segments of equal length, as shown. What is the area of the shaded region that lies within the large semicircle but outside the smaller semicircles?

π−3\pi - \sqrt{3}

π−2\pi - \sqrt{2}

π+22\dfrac{\pi + \sqrt{2}}{2}

π+32\dfrac{\pi + \sqrt{3}}{2}

76π−32\dfrac{7}{6}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Respuesta: E
Conceptos:sector circulartriángulo equiláterodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1680
Solución:

El semicírculo grande tiene área 12π(2)2=2π.\dfrac{1}{2}\pi(2)^2 = 2\pi.

Los tres semicírculos pequeños tienen área total 3π2\dfrac{3\pi}{2} antes de contar sus intersecciones. Los centros de cada par adyacente están a 11 unidad de distancia, así que su intersección está delimitada por dos sectores de 60∘60^\circ y un triángulo equilátero. Cada una de las dos intersecciones tiene por tanto área π3−34.\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}.

El área sombreada es 2π−[3π2−2(π3−34)]=76π−32. \begin{aligned} &2\pi - \left[\frac{3\pi}{2} - 2\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right] \\ &= \frac{7}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}

Así, la respuesta correcta es E.

The large semicircle has area 12π(2)2=2π.\dfrac{1}{2}\pi(2)^2 = 2\pi.

The three small semicircles have total area 3π2\dfrac{3\pi}{2} before their overlaps are accounted for. The centers of each adjacent pair are 11 unit apart, so their intersection is bounded by two 60∘60^\circ sectors and an equilateral triangle. Each of the two overlaps therefore has area π3−34.\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}.

The shaded area is 2π−[3π2−2(π3−34)]=76π−32. \begin{aligned} &2\pi - \left[\frac{3\pi}{2} - 2\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right] \\ &= \frac{7}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

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