Question

Los enteros positivos $A,$ $B,$ $A-B,$ y $A+B$ son todos números primos. La suma de estos cuatro primos es

The positive integers $A,$ $B,$ $A-B,$ and $A+B$ are all prime numbers. The sum of these four primes is

par

even

divisible entre $3$

divisible by $3$

divisible entre $5$

divisible by $5$

divisible entre $7$

divisible by $7$

primo

prime

Respuesta: E

Conceptos:paridad primo

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

$A-B$ y $A+B$ tienen la misma paridad; como ambos son primos, son impares, así que $A$ y $B$ tienen paridades opuestas. Si $A$ fuera par, el primo $A$ sería $2,$ pero el primo positivo $B$ cumpliría $B\ge2$ y haría $A-B\le0.$ Por tanto, $A$ es impar y el primo par $B$ es $2.$

Entonces $A-2,$ $A,$ y $A+2$ son tres primos. Uno es divisible entre $3,$ así que debe ser $3;$ la terna es $3,$ $5,$ $7.$ Su suma junto con $2$ es $2+3+5+7=17,$ un primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

$A-B$ and $A+B$ have the same parity; being prime, both are odd, so $A$ and $B$ have opposite parity. If $A$ were even, then the prime $A$ would equal $2,$ but the positive prime $B$ would satisfy $B\ge2$ and make $A-B\le0.$ Hence $A$ is odd and the even prime $B$ is $2.$

Then $A-2,$ $A,$ $A+2$ are three primes. One is divisible by $3,$ so that one must equal $3;$ the triple is $3,$ $5,$ $7.$ Their sum together with $2$ is $2+3+5+7=17,$ a prime.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B Problema 11

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

El Problema 11 en otros años