2002 AMC 12B Problema 11

Question

Los enteros positivos

A,

B,

A-B,

y

A+B

son todos números primos. La suma de estos cuatro primos es

The positive integers

A,

B,

A-B,

and

A+B

are all prime numbers. The sum of these four primes is

par

even

divisible entre

3

divisible by

3

divisible entre

5

divisible by

5

divisible entre

7

divisible by

7

primo

prime

Respuesta: E

Conceptos:paridad primo

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

A-B

y

A+B

tienen la misma paridad, y ambos son primos, así que ambos son impares.

A-B

and

A+B

have the same parity, and both are prime, so both are odd

Pista grande:

Entonces

B=2,

lo que hace de

A-2,

A,

A+2

tres primos en progresión aritmética.

Then

B=2,

making

A-2,

A,

A+2

three primes in arithmetic progression

Solución:

A-B

y

A+B

tienen la misma paridad; como ambos son primos, son impares, así que

A

y

B

tienen paridades opuestas. Si

A

fuera par, el primo

A

sería

2,

pero el primo positivo

B

cumpliría

B\ge2

y haría

A-B\le0.

Por tanto,

A

es impar y el primo par

B

es

2.

Entonces

A-2,

A,

y

A+2

son tres primos. Uno es divisible entre

3,

así que debe ser

3;

la terna es

3,

5,

7.

Su suma junto con

2

es

2+3+5+7=17,

un primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A-B

and

A+B

have the same parity; being prime, both are odd, so

A

and

B

have opposite parity. If

A

were even, then the prime

A

would equal

2,

but the positive prime

B

would satisfy

B\ge2

and make

A-B\le0.

Hence

A

is odd and the even prime

B

is

2.

Then

A-2,

A,

A+2

are three primes. One is divisible by

3,

so that one must equal

3;

the triple is

3,

5,

7.

Their sum together with

2

is

2+3+5+7=17,

a prime.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B Problema 11

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años