Question

La media, la mediana, la moda única y el rango de una colección de ocho enteros son todos iguales a $8.$ El mayor entero que puede ser un elemento de esta colección es

The mean, median, unique mode, and range of a collection of eight integers are all equal to $8.$ The largest integer that can be an element of this collection is

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Respuesta: D

Conceptos:media rango argumento extremal

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

La colección $6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 14$ tiene media, mediana, moda única y rango iguales a $8,$ así que $14$ se puede alcanzar.

Supongamos que el mayor valor fuera $15.$ El rango $8$ obliga a que el menor sea $7.$ Como $8$ es la moda, aparece en la lista ordenada; junto con la mediana $8,$ esto obliga a que los dos valores centrales sean $8, 8.$ Entonces $7 + 8 + 8 + 15 = 38,$ así que los otros cuatro valores suman $64 - 38 = 26,$ con promedio $6.5.$ Al menos uno sería menor que $7,$ contradiciendo el mínimo. Por lo tanto, $15$ es imposible.

Así, la respuesta correcta es D.

The collection $6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 14$ has mean, median, unique mode, and range all equal to $8,$ so $14$ is attainable.

Suppose the largest were $15.$ The range $8$ forces the smallest to be $7.$ Because $8$ is the mode, it occurs in the sorted list; together with median $8,$ this forces the two middle values to be $8, 8.$ Then $7 + 8 + 8 + 15 = 38,$ so the remaining four values sum to $64 - 38 = 26,$ averaging $6.5.$ At least one would be below $7,$ contradicting the minimum. So $15$ is impossible.

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12A Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 15 en otros años