2001 AMC 12 Problema 16

Question

Una araña tiene un calcetín y un zapato para cada una de sus ocho patas. ¿En cuántos órdenes diferentes puede la araña ponerse sus calcetines y zapatos, suponiendo que, en cada pata, el calcetín debe ponerse antes que el zapato?

A spider has one sock and one shoe for each of its eight legs. In how many different orders can the spider put on its socks and shoes, assuming that, on each leg, the sock must be put on before the shoe?

8!

2^8\, 8!

(8!)^2

\dfrac{16!}{2^8}

16!

Respuesta: D

Conceptos:arreglos con restricciones permutaciones

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Hay

16

objetos, así que

16!

ordenamientos sin restricción

There are

16

items, so

16!

orderings with no restriction

Pista grande:

En cada pata el calcetín precede al zapato en exactamente la mitad de todos los ordenamientos, y las ocho patas son independientes

On each leg the sock precedes the shoe in exactly half of all orderings, and the eight legs are independent

Solución:

Piensa en los

16

objetos (

8

calcetines y

8

zapatos) dispuestos en algún orden: hay

16!

disposiciones.

Para cada pata, el calcetín viene antes que el zapato en exactamente la mitad de todas las disposiciones. Imponer esto en las ocho patas de forma independiente divide entre

2^8,

dando

\dfrac{16!}{2^8}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Think of the

16

items (

8

socks and

8

shoes) arranged in some order: there are

16!

arrangements.

For each leg, the sock comes before the shoe in exactly half of all arrangements. Imposing this on all eight legs independently divides by

2^8,

giving

\dfrac{16!}{2^8}.

Thus, the correct answer is D.