2000 AMC 12 Problema 8

Question

Las figuras

0,

1,

2,

y

3

constan de

1,

5,

13,

y

25

cuadrados unitarios sin solapamiento, respectivamente. Si se continuara el patrón, ¿cuántos cuadrados unitarios sin solapamiento habría en la figura

100

?

Figures

0,

1,

2,

and

3

consist of

1,

5,

13,

and

25

nonoverlapping unit squares, respectively. If the pattern were continued, how many nonoverlapping unit squares would there be in figure

100?

10401

19801

20201

39801

40801

Respuesta: C

Conceptos:reconocimiento de patrones cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Cada figura es un rombo cuyas filas son los números impares

1, 3, 5, \ldots

que suben y luego bajan.

Each figure is a diamond whose rows are the odd numbers

1, 3, 5, \ldots

up and back down

Pista grande:

La figura

n

tiene

n^2 + (n + 1)^2

cuadrados unitarios.

Figure

n

has

n^2 + (n + 1)^2

unit squares

Solución:

La figura

n

es un rombo cuyas longitudes de fila aumentan a lo largo de los números impares y luego disminuyen, dando un total de

n^2 + (n + 1)^2

cuadrados unitarios. Esto coincide con

1, 5, 13, 25

para

n = 0, 1, 2, 3

.

Por lo tanto, la figura

100

tiene

\begin{aligned} 100^2 + 101^2 &= 10000 + 10201 \\ &= 20201 \end{aligned}

cuadrados unitarios.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Figure

n

is a diamond whose row lengths increase through the odd numbers and back down, giving a total of

n^2 + (n + 1)^2

unit squares. This matches

1, 5, 13, 25

for

n = 0, 1, 2, 3.

Therefore figure

100

has

\begin{aligned} 100^2 + 101^2 &= 10000 + 10201 \\ &= 20201 \end{aligned}

unit squares.

Thus, the correct answer is C.