2000 AMC 12 Problema 19

Question

En el triángulo

ABC,

AB = 13,

BC = 14,

y

AC = 15.

Sea

D

el punto medio de

\overline{BC}

y sea

E

la intersección de

\overline{BC}

con la bisectriz del ángulo

BAC.

¿Cuál de los siguientes está más cerca del área del triángulo

ADE

?

In triangle

ABC,

AB = 13,

BC = 14,

and

AC = 15.

Let

D

denote the midpoint of

\overline{BC}

and let

E

denote the intersection of

\overline{BC}

with the bisector of angle

BAC.

Which of the following is closest to the area of triangle

ADE?

2

2.5

3

3.5

4

Respuesta: C

Conceptos:Fórmula de Herón teorema de la bisectriz área del triángulo

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Por la fórmula de Herón, el área de

\triangle ABC

es

84,

así que la altura desde

A

hasta

BC

es

12

.

By Heron’s formula the area of

\triangle ABC

is

84,

so the altitude from

A

to

BC

is

12

Pista grande:

D

está a distancia

7

de

B

; el pie de la bisectriz

E

satisface

BE : EC = 13 : 15

.

D

is at distance

7

from

B

; the bisector foot

E

satisfies

BE : EC = 13 : 15

Solución:

Por la fórmula de Herón, el área de

\triangle ABC

es

\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,

así que la altura desde

A

hasta

BC

es

\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.

El punto medio

D

está a

7

de

B.

La bisectriz desde

A

corta a

BC

en

E

con

BE : EC = AB : AC = 13 : 15,

así que

BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5.

Tanto

D

como

E

están sobre

BC,

así que

\triangle ADE

tiene base

DE = 7 - 6.5 = 0.5

y altura

12,

dando un área de

\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By Heron’s formula, the area of

\triangle ABC

is

\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,

so the altitude from

A

to

BC

is

\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.

The midpoint

D

is

7

from

B.

The bisector from

A

meets

BC

at

E

with

BE : EC = AB : AC = 13 : 15,

so

BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5.

Both

D

and

E

lie on

BC,

so

\triangle ADE

has base

DE = 7 - 6.5 = 0.5

and altitude

12,

giving area

\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.

Thus, the correct answer is C.