1998 AMC 12 Problema 14

Question

Una parábola tiene vértice en

(4,-5)

y dos intersecciones con el eje

x

, una positiva y otra negativa. Si la parábola es la gráfica de

y=ax^2+bx+c,

¿cuáles de

a,

b,

y

c

deben ser positivos?

A parabola has vertex at

(4,-5)

and has two

x

-intercepts, one positive and one negative. If this parabola is the graph of

y=ax^2+bx+c,

which of

a,

b,

and

c

must be positive?

solo

a

only

a

solo

b

only

b

solo

c

only

c

solo

a

y

b

a

and

b

only

ninguno

none

Respuesta: A

Conceptos:quadratic functions signs of coefficients

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

El vértice está por debajo de las dos intersecciones; usa esto para determinar hacia dónde se abre la parábola

The vertex lies below two intercepts, so determine the opening direction

Pista grande:

Usa los signos del producto de las raíces y de

-\frac{b}{2a}=4

Use the signs of the roots’ product and of

-\frac{b}{2a}=4

Solución:

La parábola se abre hacia arriba, así que

a\gt0.

Sus raíces tienen signos opuestos, de modo que

\frac{c}{a}\lt0

y por tanto

c\lt0.

Además,

-\frac{b}{2a}=4\gt0,

así que

b\lt0.

Por consiguiente, solo

a

debe ser positivo, y la respuesta correcta es A.

The parabola opens upward, so

a\gt0.

Its roots have opposite signs, so

\frac{c}{a}\lt0

and hence

c\lt0.

Also

-\frac{b}{2a}=4\gt0,

so

b\lt0.

Therefore only

a

must be positive, and A is correct.

1998 AMC 12 Problema 14

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años