1997 AMC 12 Problema 16

Question

Las tres sumas de las filas y las tres sumas de las columnas del arreglo

\begin{bmatrix} 4&9&2\\ 8&1&6\\ 3&5&7 \end{bmatrix}

son iguales. ¿Cuál es la menor cantidad de entradas que deben modificarse para que las seis sumas sean distintas entre sí?

The three row sums and the three column sums of the array

\begin{bmatrix} 4&9&2\\ 8&1&6\\ 3&5&7 \end{bmatrix}

are the same. What is the least number of entries that must be altered to make all six sums different from one another?

1

2

3

4

5

Respuesta: D

Conceptos:arrays invariants construction

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Si solo se modifican tres entradas, examina las filas y columnas que no contienen ninguna modificación

With only three altered entries, examine the rows and columns containing no alteration

Pista grande:

Para obtener una cota superior, intenta cambiar cuatro entradas de modo que sus efectos sobre las filas y las columnas sean todos distintos

For an upper bound, try changing four entries so that their row and column effects are all distinct

Solución:

Con a lo sumo tres modificaciones, o bien dos de las seis líneas quedan sin cambios, o bien alguna entrada modificada es la única modificación tanto de su fila como de su columna. En el primer caso, esas dos sumas siguen siendo iguales; en el segundo, esa entrada cambia la suma de su fila y la de su columna en la misma cantidad, por lo que esas dos sumas siguen siendo iguales. Cuatro modificaciones bastan: se reemplazan

4,

1,

2,

6

por

5,

3,

7,

9,

respectivamente. Las sumas de las filas resultantes son

21,

20,

15

, y las de las columnas son

16,

17,

23.

Por lo tanto, el mínimo es

4,

y D es la respuesta correcta.

With at most three alterations, either two of the six lines are unchanged, or some altered entry is the only alteration in both its row and its column. In the first case those two sums remain equal; in the second, that entry changes its row sum and column sum by the same amount, so those two sums remain equal. Four suffice: replace

4,

1,

2,

6

by

5,

3,

7,

9,

respectively. The resulting row sums are

21,

20,

15

and column sums are

16,

17,

23.

Hence the minimum is

4,

and D is correct.