1993 AMC 12 Problema 10

Question

Sea

r

el número que resulta al triplicar tanto la base como el exponente de

a^b

, donde

a,

b\gt0.

Si

r

es igual al producto de

a^b

y

x^b

, donde

x\gt0,

entonces

x=

Let

r

be the number that results when both the base and the exponent of

a^b

are tripled, where

a,

b\gt0.

If

r

equals the product of

a^b

and

x^b

where

x\gt0,

then

x=

3

3a^2

27a^2

2a^{3b}

3a^{2b}

Triplicar ambas partes transforma

a^b

en

(3a)^{3b}

Tripling both parts changes

a^b

to

(3a)^{3b}

Reescribe la igualdad de modo que ambos lados sean potencias de exponente

b

Rewrite the equality so both sides are

b

th powers

Se tiene

r=(3a)^{3b}=\bigl(27a^3\bigr)^b.

Además,

r=a^bx^b=(ax)^b.

Como las cantidades son positivas, podemos igualar las bases; así,

ax=27a^3

y

x=27a^2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We have

r=(3a)^{3b}=\bigl(27a^3\bigr)^b.

Also

r=a^bx^b=(ax)^b.

Positivity allows us to equate the bases, so

ax=27a^3

and

x=27a^2.

Thus the correct answer is C.

El Problema 10 en otros años